Wat is het verschil tussen een expliciet en een recursief voorschrift?
Hallo!
Ik worstel zelf ééénorm met deze vraag.
Een voorbeeldje: -3, 6, -12, 24,... Hiervan moet je zowel het recursieve als het expliciete voorschrift van opstellen. Hieronder beschrijf ik zelf eens wat ik hieronder versta. Kunnen jullie verbeteren indien ik iets fouts zeg?
Dus bij een expliciet voorschrift moet je er voor zorgen dat je voorschrift start met tn = ... En in het rechterdeel mag je ENKEL gebruik maken van n en niet van tn (wat we doen bij een recursief voorschrift). Als ik nu dit voorschrift moet opstellen dan zie ik daar helemaal geen beginnen aan! Hebben jullie tips of trucks hoe je iets kan herkennen? Bijkomend vraagje: bij dit voorschrift moet je ook steeds de voorwaarde voor n noteren, dat het groter moet zijn dan een bepaald getal. WAAROM deze voorwaarde? En waarom groter dan dat bepaald getal?
Bij het impliciet voorschrift moet je er voor zorgen dat je links steeds start met t(n+1). In het rechterdeel, na het '='-teken, moet je het vooschrift noteren in functie van 'tn' en niet in 'n' (zoals bij het expliciete voorschrift). Ik denk dat het voorschrift hiervan: t(n+1) = -2tn is. Maar ik begrijp niet wat er bedoeld wordt met die voorwaarde voor n en die stratwaarden: Ook hier komt mijn vraag opnieuw, waarom hier een bepaalde voorwaarde voor die n? En hier bovenop moet je ook gebruik maken van een startwaarde... Hier ben ik ook compleet niet mee. In de cursus noteert men bij sommige oefeningen t0=... en dan eens t1=... . Dus ook hier waarom een startwaarde???
Hopelijk kunnen jullie mij helpen!
Alvast bedankt voor de hulp en ik zie er naar uit naar jullie antwoord!
Birger
Student Hoger Onderwijs België - dinsdag 27 april 2004
Antwoord
Bij een expliciete formule geef je een formule die je rechtstreeks tn in handen geeft, zonder gebruik te maken van eerdere termen in de rij. Dat is in iets andere woorden hetzelfde als jouw formulering. Bij zo'n expliciete formule kun je bijvoorbeeld in één keer t100 geven. Kwestie van invullen.
In dit geval gaat het over een meetkundige rij met startterm -3 en reden -2. Een formule zou dus kunnen zijn: tn = -3.(-2)n. Waarom moet er nu een voorwaarde voor n bij staan? In de eerste plaats moet je natuurlijk vermijden dat iemand voor n bijvoorbeeld de waarde 1/2 wil invullen. Dat zou in dit geval meteen problemen geven, vanwege het feit dat r = -2, maar je kunt gemakkelijk rijen bedenken waarbij een dergelijke waarde voor n geen probleem zou opleveren. Vervolgens moet je even aangeven vanaf welke waarde n ingevuld kan worden. In de gegeven formule levert n = 0 de waarde -3 op, n = 1 geeft 6, n = 2 geeft -12, kortom precies wat je hebben wilt. Maar een buitenstaander is misschien gewend om vanaf n = 1 te gaan tellen. Als hij achtereenvolgens n = 1, n = 2, n = 3 invult, krijgt hij wel termen uit de rij, maar hij start nu niet meer bij de waarde -3. Echter: als je neemt tn=-3.(-2)n-1 en je laat n nu lopen vanaf de waarde 1, dan zie je dat je dezelfde rij krijgt. Conclusie: je geeft bij rijen even aan vanaf welke waarde n je gaat beginnen.
Bij een recursieve rij geef je tn+1 uitgedrukt in één of meer van zijn voorgaande term(en). Het is in dit geval inderdaad tn+1=-2.tn met als verplicht extra dat t0 = -3. Als namelijk t0 niet bekend is, dan kan t1 daaruit niet ontstaan. Het nadeel van een recursieve rij is dat je de rij term voor term moet opbouwen. Het geven van t100 is meestal niet in één keer mogelijk.
Ook nu moet je ervoor zorgen dat de hele rij tevoorschijn komt en dat er geen onmogelijke waarden voor n worden gekozen. Hier zal je moeten opgeven dat n0. Als je namelijk n = 0 invult, dan krijg je t1=-2.t0=-2.-3 = 6
In de praktijk wordt hiermee wel eens slordig omgegaan. Als schrijvers van een boek consequent beginnen te tellen vanaf n = 0, dan kun je het vaak wel gewoon weglaten. Een goed verstaander heeft uiteindelijk maar een half oor nodig! Het wordt belangrijker wanneer men de ene keer begint bij n = 0 en dan weer bij n = 1.
0. 