Hoe bereken ik de gradient van de volgende functie:
f(x,y,z) = |r|-n waarbij r = x i + y j + z k
(i, j en k zijn vectorrichtingen). Ik begrijp niet hoe een vector af te leiden is. Met vriendelijke groet,
Erik Hazelhof
Erik H
Student universiteit - dinsdag 20 april 2004
Antwoord
Men schrijft veelal (x,y,z) ipv xi + yj +zk. Dus |r| = √(x2+y2+z2), volgens Pythagoras, en f(x,y,z) = (x2+y2+z2)(-n/2). De partiële afgeleide van f naar x is (-n/2)(x2+y2+z2)(-n/2)-1·(2x) = (-nx)(x2+y2+z2)(-n-2)/2), en analoog berekent men de partiële afgeleiden van f naar y en naar z. De gradiënt is dan ((-nx)(x2+y2+z2)(-n-2)/2, (-ny)(x2+y2+z2)(-n-2)/2, (-nz)(x2+y2+z2)(-n-2)/2). Dit kan men ook opschrijven als volgt: (-n)|r|-n-2 (x,y,z) = (-n)|r|-n-2 r = (-n)|r|-n-2 (xi + yj+ zk). De gradiënt wijst dus in de richting van de oorsprong, namelijk in tegenovergestelde richting als r. In die richting neemt f het snelst toe. Dat klopt, want: hoe groter |r|, hoe kleiner f.
