Ik heb een bewering en ik moet zelf bewijzen of deze juist of onjuist is, maar ik kom er echt niet uit. Misschien zouden jullie mij een handje kunnen helpen:
De kwadratische rij waarvan de eerste termen worden gegeven door 41, 83, 127, 221, 271,... bestaat uitsluitend uit priemgetallen.
Alvast bedankt
Meshka
Leerling bovenbouw havo-vwo - dinsdag 20 april 2004
Antwoord
Beste Meshkan,
Een kwadratische rij bestaat nooit uitsluitend uit priemgetallen.
Voor een kwadratische rij heb je de formule an2 + bn + c. Stel dat zo'n rij alleen maar priemgetallen zou leveren.
Het kan niet zo zijn dat c=0, want dan is an2 + bn = n(an+b) natuurlijk deelbaar door n, en dus niet altijd maar priem.
Als je n=c neemt, dan krijg je ac2 + bc + c = c(ac+b+1) en dat is deelbaar door c. Dus als c1, dan is er voor n=c in elk geval geen priemgetal (tenzij ac+b+1=1 en c een priemgetal is, maar dan kun je n=2c, n=3c enz. nemen).
Het vorige argument werkt ook als c-1, maar dan moet je n=-c (evt. n=-2c, n=-3c, ...) nemen.
We kunnen dus nog hebben dat c=1, dan is de formule an2 + bn + 1. Dit lossen we op met een flauwe truc, we nemen n=N+1, en gaan substitueren a(N+1)2 + b(N+1) + 1 = aN^2 + (2a+b)N + a+b+1 en nu hebben we in de meeste gevallen een soortgelijke situatie als bij 1. of 2. Er zijn twee mogelijkheden dat je niet in een situatie als bij 1. of 2. uitkomt: als a=-b (en dus a+b+1=1) of als a+b=-2 (en dus a+b+1=-1). Om dat op te lossen kunnen we in de oorspronkelijke formule n=N+2, n=N+3, enz., substitueren, en in een van die gevallen komen we echt in een soortgelijk geval als bij 1. of 2.
Het geval c=-1 behandelen we op soortgelijke wijze.
Er is dus geen enkele c mogelijk waarvoor een kwadratische rij alleen maar priemen levert. Zo'n kwadratische rij bestaat dus niet.
1, dan is er voor n=c in elk geval geen priemgetal (tenzij ac+b+1=1 en c een priemgetal is, maar dan kun je n=2c, n=3c enz. nemen).
-1, maar dan moet je n=-c (evt. n=-2c, n=-3c, ...) nemen.