\require{AMSmath}

Differentiatie van logaritme

haihai ,

Ik liep vast (nouja, niet helemaal) bij de volgende opdracht:

Differentieer f(x)=^1/2log x·²log x

Ik dacht dit te doen dmv de productregel:

f'(x)= (¹/_xLn¹/2)(²log x)+(^1/2log x)(¹/_xLn2

= ^2logx/_xLn¹/2+^1/2logx/_xLn2

Klopt dit?

Mijn leraar had dit tijdens een les als volgt uitgelegd, maar dat snap ik nu niet meer, dus ik vroeg me af of jullie dit ook nog even konden uitleggen:

f(x)=^1/2log x·²log x
= -(²logx)²

f'(x)=-2·²logx·¹/_x

De afgeleide snap ik wel, maar de stap naar -(²logx)² niet helemaal...

Nou, dat was het voorlopig weer :), alvast bedankt!

Groetjes,

Evelie
Leerling bovenbouw havo-vwo - maandag 19 april 2004

Antwoord

maak gebruik van de regel
^alogb = ^gloga/^glogb

en omdat g willekeurig te kiezen is (althans 0 EN ¹1)
kun je ook het grondtal e nemen.
Zoals je weet is een logaritme met grondtal e hetzelfde als ln.
Dus ^elogx is hetzelfde als lnx

Welnu: Pas dit toe op jouw probleem

^1/2logx.²logx
= (lnx/ln(1/2)).(lnx/ln2)
= (lnx/ln(2^-1)).(lnx/ln2)
= (lnx/-ln2).(lnx/ln2)
= -(lnx/ln2)²
= -(²logx)²
= -2log²x

Dit differentiëren levert volgens de kettingregel:

[-(²logx)²]'
= -2.²logx.[²logx]'
= -2.²logx.(1/xln2)

Dus net ietsje anders dan het antwoord wat jij had opgeschreven. Hou die kettingregel altijd in de gaten, dat is altijd weer HET addertje onder het gras bij differentiëren. ;-)

groeten,
martijn

mg
maandag 19 april 2004

©2001-2024 WisFaq