ik wil graag antwoord op deze vraag: leid een formule af waarmee je de coordinaten van de top van de parabool kunt berekenen.
j. kun
Leerling bovenbouw havo-vwo - dinsdag 13 april 2004
Antwoord
Hoi,
Het algemene functievoorschrift van een parabool is f(x)=ax2+bx+c, waarbij a, b en c behoren tot $\mathbf{R}$ (a $\ne$ 0). Verder weet je dat bij de top (maximum of minimum) een raaklijn hoort die horizontaal is, m.a.w. de richtingscoëfficiënt van de raaklijn is 0. Hoe vinden we de richtingscoëfficiënt van de raaklijn? Door te differentiëren en we weten dat de raaklijn horizontaal is, dus daarna gelijkstellen aan 0 (en checken dat er een tekenwisseling plaatsvindt).
f(x)=ax2+bx+c f'(x)=2ax + b f'(x)=0 $\Leftrightarrow$ 2ax + b = 0 $\Leftrightarrow$ 2ax = -b $\Leftrightarrow$ x = -b/2a
Bij x = -b/2a hoort als y-coördinaat f(-b/2a)=-b2/4a+c.
[Nu nog nagaan dat er een tekenwissel plaatsvindt (je weet dat de richtingscoëfficiënt van de raaklijn (afgeleide) van een bergparabool voordat het maximum bereikt is (dus links van het maximum) positief is (stijgt), en nadat het maximum bereikt is negatief (daalt) is. Bij een dalparabool daalt de functie voordat het minimum bereikt is (de richtingscoëfficiënt is negatief) en stijgt de functie nadat het minimum bereikt is (richtingscoëfficiënt is positief)).]
Aangezien a niet 0 mag zijn heb je of een bergparabool (a$<$0) of een dalparabool (a$>$0). We gaan kijken voor welke x de afgeleide v$\int{} \int{}$r en na de top (= maximum of minimum) stijgt of daalt. Rekeninghoudend met bovenstaande tekst [...].
f'(x)=2ax+b, wanneer f'(x)$<$0 $\Leftrightarrow$ 2ax+b$<$0 (de functie daalt) $\Leftrightarrow$ x $<$ -b/2a, maar we hebben gedeeld door a, als a negatief (=bergparabool) is dan draait het '$<$'-teken om, en dan geldt x $>$ -b/2a. Als a positief is (=dalparabool) dan geldt x $<$ -b/2a.
f'(x)$>$0 $\Leftrightarrow$ x $>$ -b/2a als a positief (dalparabool), als a negatief (bergparabool) dan x $<$ -b/2a.
Dus de richtingscoëfficiënt van de raaklijn is negatief bij een dalparabool als x $<$ -b/2a en positief bij een dalparabool als x $>$ -b/2a. Er is dus een tekenwissel (x = -b/2a is de top). We hebben zelfs aangetoond dat de functie daalt voor kleinere x-waarden dan het maximum en stijgt voor grotere x-waarden (hetgeen uiteraard overeenkomt met de grafiek).
Een analoge redenering kan voor de bergparabool worden opgesteld.
