Hoi, Ik heb een paar vragen over het begrip orde, volgende week tentamen. Er staan heleboel stellingen in ons boek, waar het bewijs van ontbreekt, ik zit er al dagen lang op te turen maar vind het maar een beetje vaag...Kunt iemand me nog even helpen? Waarom is dat een groep G van orde #G$<$=5 altijd abels is? Kun je geen groep verzinnen met bijvoorbeeld 6 elementen die abels is? En als G en G' isomorfe groepen zijn, dus met gelijke orde (neem ik aan), waarom is dan het aantal isomofismen tussen deze groepen gelijk aan de orde van Aut(G) Aut(G) is toch f:G$\to$G?
De stelling van Lagrance luidt: #G=[G:H].#H. voor HcG. En eronder staat: Iedere ondergroep H c G van index 2 is een normaaldeler. Is dat omdat dit geldt? #G=2.#H?
En nog een vraag over equivalentierelaties: Er stond in een antwoord van een vraag waarom x~y $\Leftrightarrow$ y=h.x voor een h in H. Bewijs dat dit een equivalentierelatie was. Dit is duidelijk maar stel nu je hebt H ÌG een ondergroep. g1~g2$\Leftrightarrow$g2g1-1$\in$H. Hoe laat je nu zien of dit een equivalentierelatie is? alvast bedankt.
Adriaa
Student universiteit - woensdag 31 maart 2004
Antwoord
Hallo Adriaan,
Ik hoop dat je er nog wat aan hebt voor je tentamen. Ik ga er niet vanuit volledige bewijzen te geven; de details kun je hopelijk zelf verder uitzoeken:
1) Om te bewijzen dat een groep van orde #G $<$= 5 altijd Abels (moet met hoofdletter, want het is een eigennaam) is, is het handig om je te beseffen dat elke groep waarvan de orde p priem is, cyclisch is (d.w.z. door één element wordt voortgebracht, dus isomorf met $\mathbf{Z}$p) en dus Abels. Het bewijs hiervoor volgt uit de stelling van Lagrange: de orde van elke ondergroep moet de orde van de groep delen en als die orde priem is, dan is dus de ondergroep voortgebracht door een willekeurig gekozen niet-triviaal element meteen de hele groep. Dit levert je meteen dat de groepen van orde 1,2,3 en 5 Abels zijn.
Voor orde 4 moet je iets meer werk doen. Onderscheid het geval dat er een element van orde 4 is. Dat is dan de voortbrenger en dus is de groep cyclisch. Als dat niet zo is, dan moeten alle elementen van orde 2 zijn. Als je dan de vermenigvuldigingstabel voor de groep in gaat vullen, dan zie je al snel dat er nog maar één mogelijkheid is: vermenigvuldigen met de identiteit e is bekend, dat geeft het groepselement terug, en op de diagonaal staat telkens e omdat alle elementen orde 2 hebben, gebruik verder dat op elke rij en in elke kolom elk element precies één keer voor moet komen (je kunt inverteren) en je bent klaar. Dit blijkt een symmetrische tabel te zijn (van $\mathbf{Z}$2x$\mathbf{Z}$2), d.w.z. Abels.
2) Natuurlijk zijn er ook groepen van orde 6 die Abels zijn, bijvoorbeeld $\mathbf{Z}$6, maar er zijn ook niet-Abelse groepen van orde 6, bijvoorbeeld S3=de permutaties van drie elementen. De vorige stelling zegt slechts dat: als een groep orde $<$= 5 heeft, dan is hij Abels, NIET andersom (de omkering is wel dat als hij niet Abels is, dan weet je dat de orde $>$ 5 moet zijn).
3) Stel dat Y een zekere isomorfie van G naar G' is, en zij f een automorfisme van G, dan is Y·f weer een isomorfisme van G naar G'. Bewijs zelf dat dit een bijectie tussen Aut(G) en Iso(G,G') is.
4) Dat iedere ondergroep HÌG van index 2 een normaaldeler is, merk je op dat er twee nevenklassen zijn van H in G, zeg H en Hb, met bÏH (anders is natuurlijk Hb=H). Als nu b-1Hb NIET gelijk aan H zou zijn, dan zou er dus een h$\in$H zijn waarvoor b-1hbÏH. Omdat G = H È Hb, moet er dan dus een h'$\in$H zijn zodat b-1hb = h'b, oftewel b = hh'-1$\in$H, tegenspraak. Conclusie: b-1Hb=H. Voor elke andere g$\in$G geldt nu dat ofwel g$\in$H, en dan is het duidelijk dat g-1Hg=H, ofwel g=hb voor zekere h$\in$H. Ook in het laatste geval is g-1Hg=b-1h-1Hhb=b-1Hb=H.
5) De definitie g~g' $\Leftrightarrow$ gg'-1$\in$H is equivalent met g=Hg' ofwel $h$\in$H: g=hg'. Dat is dus precies hetzelfde als de erboven genoemde equivalentie-relatie!
Veel succes met (het voorbereiden op en maken van) je tentamen,
