\require{AMSmath}

Primitieven

Een goede middag,

Ik zou graag willen weten wat de primitieven zijn van deze twee functies (en natuurlijk hoe je eraan gekomen bent)kan dat?
1) sinxcosx
2) 2-0,5sin²x

Doegie

Fleurt
Leerling bovenbouw havo-vwo - zaterdag 13 maart 2004

Antwoord

Hoi Fleurtje,

Die eerste gaan we oplossen m.b.v. partieel integreren. De algemene regel hiervoor is $\int{}$f(x)·g'(x)dx = f(x)g(x) - $\int{}$f'(x)g(x)dx.

We kiezen f(x)=sin(x) $\Rightarrow$ f'(x)=cos(x) en g'(x)=cos(x) dus g(x)=sin(x). Als we nu de bovenstaande regel gebruiken dan krijgen we $\int{}$cos(x)sin(x)dx = sin(x)·sin(x) - $\int{}$cos(x)·sin(x)dx.
Dus $\int{}$cos(x)sin(x)dx = sin²(x) - $\int{}$cos(x)·sin(x)dx. Als we de integraal van het rechterlid naar het linkerlid brengen krijgen we 2·$\int{}$cos(x)·sin(x)dx = sin²(x), dus $\int{}$cos(x)·sin(x)dx = ¹/₂·sin²(x)+c.

Dan de 2^de opgave: $\int{}$2 - ¹/₂·sin²(x)dx.
Die gaan we eerst splitsen in 2$\int{}$dx - ¹/₂$\int{}$sin²(x)dx.
Dat is 2x - ¹/₂$\int{}$sin²(x)dx.

Om die $\int{}$sin²(x)dx makkelijker te berekenen gaan we de regel cos²(x) + sin²(x) = 1 gebruiken, want sin²(x) = 1 - cos²(x) dus $\int{}$sin²(x)dx = $\int{}$dx - $\int{}$cos²(x)dx (·).
$\Leftrightarrow$ $\int{}$sin²(x)dx = x - $\int{}$cos²(x)dx. Die $\int{}$cos²(x)dx gaan we m.b.v. partieel integreren bepalen want $\int{}$cos²(x)dx = $\int{}$cos(x)·cos(x)dx, dus f(x)=cos(x) $\Rightarrow$ f'(x)=-sin(x) en g'(x)=cos(x) $\Rightarrow$ g(x)=sin(x).
Dus $\int{}$cos²(x)dx = sin(x)cos(x) + $\int{}$sin²(x)dx.
Dit vullen we in (·) in, krijgen we $\int{}$sin²(x)dx = x - sin(x)cos(x) - $\int{}$sin²(x)dx. Als we de integraal in het rechterlid naar links brengen krijgen we 2·$\int{}$sin²(x)dx = x - sin(x)cos(x) dus $\int{}$sin²(x)dx = ¹/₂x - ¹/₂sin(x)cos(x).

Vullen we dat 2x - ¹/₂$\int{}$sin²(x)dx. in, dan krijgen we 2x - ¹/₂(¹/₂x - ¹/₂sin(x)cos(x)). Dus $\int{}$2 - ¹/₂·sin²(x)dx = 2x - ¹/₄x + ¹/₄sin(x)cos(x) of ook $\int{}$2 - ¹/₂·sin²(x)dx = ⁷/₄x + ¹/₄sin(x)cos(x) + c.

P.S. Mede-beantwoorder hk heeft een alternatieve uitwerking aangezien partieel integreren niet tot de examenstof behoort.
De eerste opgave kon opgelost worden door sin(x)cos(x) te herschrijven als ½sin(2x).
De tweede opgave kon je oplossen door gebruik te maken van cos(2x) = 1 - 2·sin²(x) dus 2·sin²(x) = 1 - cos(2x) en bijgevolg sin²(x) = ½ - ½cos(2x).

Groetjes,

Davy.

Davy
zaterdag 13 maart 2004

Re: Primitieven

©2001-2024 WisFaq