Ik ben bezig met een praktisch opdracht over kettingbreuken, maar ik zit vast bij hetvolgende probleem:
1.
Ik heb de vraag de vorige keer niet helemaal goed gesteld, maar ik bedoel:
De rij is:
Un+1 = 1 + 1/Un
En de vraag is dan
lim Un n -- oneindig
Volgens mij is deze niet zo moeilijk, maar ik kom er even niet uit.
En mijn 2de vraag, de belangrijkste eigenlijk,
Zal de vereenvoudigde rij van de oneindige ketting breuk 2,2,2,2,... een twee keer zo grote limiet hebben als de vorige rij. (Deze had als kettingbruik 1,1,1,...)
Bedankt
Mark
Leerling bovenbouw havo-vwo - woensdag 3 maart 2004
Antwoord
Men moet eigenlijk eerst bewijzen dat de rij convergeert. Stelt men vervolgens de limiet gelijk aan L, dan volgt uit de recurrente betrekking Un+1=1+1/Un door links en rechts van "=" de limiet te nemen: L=1+1/L. Hieruit volgt L2=L+1, (L-1/2)2=5/4, L=(1+Ö5)/2 (ga na dat L=(1-Ö5)/2 niet kan voldoen). Neem eens beginterm 1, en reken een tiental termen van de rij Un uit. In de tweede vraag heeft men de recurrente betrekking Vn+1=2+2/Vn. Is de limiet M, dan volgt M=2+2/M, en uiteindelijk M=1+Ö3 (ga dit na). Dus M is niet gelijk aan 2L. Een kettingbreuk laat zich niet zo eenvoudig vereenvoudigen. Reken eens een tiental termen van de rij Vn uit, eerst met beginterm 1 en dan met beginterm 2 (afhankelijk van de beginterm krijgt men verschillende rijen, maar dezelfde limiet).
oneindig 
2,2,2,2,...