Ik zit met een groot probleem. De materie rond meetkundige plaatsen begrijp ik zeer goed. Zo die methode met de twee families en dan met de parameter t die je dan moet elimineren.
Maar, van zodra ik zelf een oef. moet maken loopt het fout. Ik weet nooit hoe ik die twee families moet bepalen: Welke rechten of cirkels ik moet gebuiken. Welnu kregen we een huiswerk met daarop 3 vragen over meetkundige plaatsen.
Zouden jullie mij aub hiermee kunnen helpen?
1) Een veranderlijke rechte wentelt rond een vast punt p, buiten een cirkel gelegen. Bepaal de meetkundige plaats van de middens van de koorden die door de cirkel op de rechte worden afgesneden.
2) Twee cirkels C1 en C2 raken elkaar uitwendig in het punt o. Het lijnstuk (op1) is een koorde van de cirkel C1 en het lijnstuk (op2) is een koorde van de cirkel C2 waarbij de rechte op1 loodrecht staat op de rechte op2. Bepaal de meetkundige plaats van het midden p van het lijnstuk (p1p2) als het rechtenpaar {op1,op2} rond o wentelt.
3) De normaal pq in een veranderlijk punt p van een parabool snijdt de as in een punt q. Bepaal de meetkundige plaats van het middelpunt van de omgeschreven cirkel van de driehoek gevormd door p, q en de top van de parabool.
Hopelijk kan jullie mij helpen. Alvast dank op voorhand.
joske
3de graad ASO - zaterdag 28 februari 2004
Antwoord
1) Neem een cirkel met het middelpunt in de oorsprong en een punt P(a,0) buiten de cirkel op de x-as. Zie:
Cabri : oef 1 dubbelklik in de figuur om de 'knoppen' te verkrijgen
Neem als parameter de richtingscoëfficiënt van rechte door P en stel de vergelijking op van deze rechte l.
Een loodlijn op een koorde door het middelpunt van de cirkel snijdt deze koorde middendoor. Stel de vergelijking op de rechte m door de oorsprong, loodrecht op l. Het midden van de koorde is dus het snijpunt van de rechte l en de loodlijn m. Elimineer de parameter uit deze twee vergelijkingen. Resultaat : x2 + y2 -a.x = 0
2) Neem de middelpunten (a,0) en (b,0) van de twee cirkels op de x-as aan weerszijden van de y-as, zodat ze elkaar raken in de oorsprong. Zie:
Vergelijking van de twee cirkels: C1 : x2 + y2 -2ax = 0 C2 : x2 + y2 -2bx = 0Neem de richtingscoëfficiënt van de rechte OP als parameter.
De rechte OQ staat hier loodrecht op. Bepaal de coördinaat van het punt P (OP Ç C1)en punt Q (OQ Ç C2).
Bepaal de coördinaat van het midden van het lijnstuk [PQ]. Elimineer de parameter uit deze twee coördinaatgetallen.
Resultaat : x2 + y2 - (a+b)x + ab = 0 Dit is een cirkel met middelpunt (a+b/2,0) en als straal a-b/2.
3) Neem de parabool y = x2 en neem een punt P op deze parabool. Neem als parameter het eerste coördinaatgetal van P, dus co(P) = (t,t2).
Bepaal de richtingscoëfficiënt van de raaklijn in P, de vergelijking van de normaal PQ, en bepaal zijn snijpunt Q met de y-as. Bepaal het middelloodlijnen van [PQ] en [OQ]. Hun snijpunt is het middelpunt van de bedoelde omgeschreven cirkel. Elimineer dus de parameter uit de vergelijkingen van deze middelloodlijnen.
