hoe groot is de kans dat je bij zes worpen met een dobbelsteen maar 4 van de 6 zijvlakken ziet boven komen?
P.S. Hoe groot is de kans dat je in 6 worpen b.v. alleen de ogen 2, 4, 5 en 6 ziet boven komen. D.w.z. de 1 en de 3 zijn in die 6 worpen niet gevallen. Dit geldt natuurlijk ook voor andere combinaties. Dus vier van de zes zijvlakken zijn dan in die zes worpen boven gekomen.
henk
Leerling bovenbouw havo-vwo - vrijdag 13 februari 2004
Antwoord
Hallo Henk,
Een leuk probleem. Je geeft eigenlijk al aan hoe je het kunt oplossen. Gewoon door alle mogelijke combinaties te bekijken. Dus alle rijtjes van 6 getallen uit 1 t/m 6 waarin er precies 2 ontbreken. Dus bv het rijtje 4 3 2 4 1 4 (type 1), of 4 3 2 4 1 2 (type 2)
Type 1 : aaabcd, 1 nummer komt 3 keer voor. Dat kan op hoeveel manieren?
Kies a ( het nummer dat 3 keer voorkomt) # mogelijkheden : 6
Kies b c d uit de 5 andere nummers, # mglkhdn : (5 boven 3) = 10
Kies de volgorde van aaabcd: 6 × 5 × 4 = 120 ( nl 6 plaatsen voor b, daarna 5 voor c en 4 voor d, (de drie laatste plaatsen zijn dan voor de a's, die hebben niets te kiezen)
Dit geeft 6 × 10 × 120 = 7200 rijtjes van type 1
Type 2 : aabbcd,
Kies a en b, (6 boven 2) = 15 mogelijkhden
Kies c en d, (4 boven 2) = 6 ,,
Kies de volgorde voor aabbcd : 6 × 5 (voor c en d)× 6 (voor de a's) = 180 In totaal 15× 6 × 180 = 16200 rijtjes van type 2
Opgeteld: 7200 + 16200 = 23400 riitjes Om de gevraagde kans te krijgen moet dit gedeeld door alle mogelijke rijtjes van 6, dat zijn er 6 tot de zesde, de kans is als ik het goed heb net iets meer dan 1/2.
Er is een leukere manier om naar dit probleem te kijken. Dynamisch. Dus als een proces dat zich ontwikkelt. Op tijdstippen 1, 2, 3, enz wordt de dobbelsteen gegooid en je houdt bij hoeveel nummers al zijn verschenen. Voor het gemak gebruik je een krijtje. Je zet steeds een krijtstreepje op de kant van de dobbelsteen die bovenkomt. Als een kant bovenkomt die al bekrijt is dan doe je niks. Je bent in toestand k als er al k kanten van de dobbelsteen bekrijt zijn. (Of, dramatischer, dan zit je in klas k van de dobbelschool)
Bij de eerste worp kom je in klas 1. Bij de tweede worp ga je over naar klas 2 met kans 5/6 en blijf je zitten in klas 1 met kans 1/6. Als je in klas k zit dan is de kans dat je bij de volgend worp (De hoeveelste worp dat is doet er niet toe) blijft zitten gelijk aan k/6 ( immers dat gebeurt als één van de k bekrijte kanten verschijnt) en de kans dat je overgaat naar klas k+1 is (6 - k)/6.
Nu kun je de kans om na 6 worpen in klas 4 te zitten als volgt berekenen: Bij de worpen 2 t/m 6 ben je 3 keer overgegaan, van 1naar 2 (kans 5/6), van 2 naar 3 (kans 4/6) en van 3 naar 4 (kans 3/6). En je bent 2 keer blijven zitten , dat kan zijn op 10 verschillende manieren, in verschillende klassen zijn gebeurd. bv in klas 1 en 1( twee keer bliven zitten in klas 1) of in klas 1 en 2, of klas 1 en 3 enz. Bij ieder van die mogelijkheden hoort een kans bv: Zittenblijven in klas 2 en 4 gaat met kans (2/6)×(4/6) Tellen we alles bij elkaar op dan krijgen we: (als we even de zesden weglaten) 5× 4 × 3 ( 1×1 + 1×2 + 1×3 + 1×4 + 2×2 + 2×3 + 2×4 + 3×3 + 3×4 + 4×4 ) = 60 × 65 = 3900 en dat gedeeld door 65 = 7776 geeft een kans van 3900/7776 = 0,50154
Extra: (Zo'n systeem met toestanden en overgangskansen heet "Markov-keten". De overgangs-kansen vormen een matrix, hier een 6x6 matrix P
Alles moet nog door 6 gedeeld worden, dus hier staat de matrix 6P.
Door deze matrix met zichzelf te vermenigvuldigen (dit kan een computer, en ook de graphische rekenmachine ) krijg je de overgangskansen in meer stappen. Voor ons probleem hebben we 5 stappen, dus P5. De 1ste rij van P5 geeft de kansen om na 6 worpen 1, 2, 3, 4, 5,of 6 verschillende kanten van de dobbelsteen gehad te hebben.
Ik hoop dat je dit ook leuk vindt. Wiskunde is fantastisch.
