Beste, ik heb een vraag i.v.m. een meetkundige rij.
a) en b) heb ik opgelost, maar met c) heb ik wat problemen.
geg: Een balletje valt van op een hoogte van één meter. Bij elke botsing neemt de hoogte met 30% af.
gev:
a) Schrijf de rij van de hoogten. Welk soort rij is dit?
Þ (Xn): 1, 7/10 , 49/100 , 343/1000 , 2401/10000 , ... Dit is een meetkundige rij
b) Wat is de totale afstand die het balletje aflegt voor het stilvalt?
Þ 1 + 2 * 7/10 + 2 * 49/100 + 2 * 343/1000 + 2 * 2401/10000 + ... (telkens maal 2 omdat het balletej ook weer naar boven komt)
Û 1 + 14/10 + 98/100 + 686/1000 + 4802/10000 + ... Û 1 + ( 7/5 + 49/50 + 343/500 + 2401/5000 + ... ) Û 1 + ( [t1 = 7/5 q = 7/10] ) Û 1 + ( t1/(1-q) ) Û 17/3 Þ 5,66666m
c) Hoe lang duurt het voor het balletej stilvalt? (Voor de valbeweging geldt: h = (gt2)/2. Bovendien is de tijd om te stijgen tot een zekere hoogte dezelfde als die om te vallen van op die hoogte.)
Alvast bedankt voor uw hulp.
Bart D
Overige TSO-BSO - vrijdag 30 januari 2004
Antwoord
Hoi,
Uit onderdeel a) ken je de rij van hoogtes: 1, 0.7, 0.72, 0,73, .....
De formule h=gt2/2 kun je omschrijven tot 2h=gt2 en dus t2=2h/g, dus t=Ö(2/g)Ö(h).
Voor de "enkele reis" krijg je dus de volgende tijden:
Ö(2/g), Ö(2/g)Ö(0.7), Ö(2/g)(Ö(0.7))2,Ö(2/g)(Ö(0.7))3,.... Voor de totale tijd krijgen we dus: Ö(2/g)(1+(2*Ö(0.7)+2*(Ö(0.7))2+2*Ö(0.7)3+......)) neem t1=2*Ö(0.7) en q=Ö(0.7)
Voor de totale tijd levert dit: Ö(2/g)(1+(2*Ö(0.7)/(1-Ö(0.7))). Kies nu voor g een geschikte waarde en benader de totale tijd.
