Voor een hoge muur staat op 1 meter afstand een schutting van 2 meter hoog. Tegen de muur wordt een ladder gezet van 6 meter lengte zodat de ladder net op de schutting leunt.
Op welke afstand van de schutting moet de voet van de ladder worden neergezet?
Ik heb alles al geprobeerd, ik denk dat het iets met gelijkvormige driehoeken te maken heeft of met de stelling van Pythagoras, of beiden maar ik kom er niet uit. Het lijkt alsof er te weinig informatie is gegeven.
Rick v
Leerling bovenbouw havo-vwo - donderdag 22 januari 2004
Antwoord
Hoi,
Op volgend plaatje benoemen we de punten A,B,C,X,Y en Z. De lengtes a,b,c,x,y en z zijn telkens de zijden in $\Delta$ABC of $\Delta$XYZ die tegenover het hoekpunt liggen met dezelfde naam (maar in hoofdletters dus).
We hebben inderdaad met Pythagoras: a2+b2=c2 en x2+y2=z2. Uit de gelijkvormigheid hebben we ook dat a/x=b/y=c/z. We weten tenslotte dat a-x=1m, y=2m en c=6m. Hiermee moeten we het doen om x te berekenen. (Bemerk dat we 6 onbekenden hebben en 7 vergelijkingen... Zie waarom we een afhankelijke vergelijking hebben?)
Omdat we enkel x willen, hebben we niet alle informatie nodig. Met Pythagoras hebben we dat b=sqrt(c2-a2)=sqrt(c2-(1+x)2) en a/x=b/y wordt dan: (1+x)/x=sqrt(c2-(1+x)2)/y. Met de waarden voor c en y kan je dit herleiden tot een leuke 4de graads veeltermvergelijking in x waarvan je de oplossingen op ]0,5[ moet bepalen. In het algemeen en ook in dit concrete geval, kan je dat enkel numerisch berekenen. Zonder vergissing van mijn kant zouden er 2 oplossing zijn zelfs...
Je kan het ook analytisch. Leg een assenkruis met oorsprong bij de voet van de muur. De ladder staat op de grond in B(a,o) en tegen de muur in A(o,b). De lengte van de ladder is 6m, dus is a2+b2=36. De rechte door AB heeft vergelijking x/a+y/b=1 en moet door X(1,2) gaan, dus is 1/a+2/b=1 of 2a+b=ab. Hieruit kan je dan a en b halen (substitutie en weer via 4de graadsvergelijking) en uiteindelijk x=a-1...
Hiermee zou je er nu moeten raken. Anders laat je het maar weten.
Re: Ladderprobleem
