Laat A een matrix zijn en b een vector. We weten AÎ5×9 en bÎn voor zekere nÎ.
We definieren T := {xÎ9;Ax = b}. We weten dat T niet leeg is. Vraag: wat is n?
We weten ook dat V een vierkante matrix is en dat VA bestaat. We definieren S := {xÎ9;VAx = Vb}.
Vraag: wat kunt u zeggen over het verband tussen de verzameling T en de verzameling S?
De eerste vraag kan ik nog wel beantwoorden. n is volgens mij namelijk 5. De laatste vraag begrijp ik alleen niet.
Alvast bedankt!
Bart
Student universiteit - woensdag 7 januari 2004
Antwoord
Hoi,
Je kan twee matrices enkel vermenigvuldigen met elkaar als het aantal kolommen van de linkse gelijk is aan het aantal rijen van de rechtse.
A heeft dimensie 5x9 en x dimensie 9x1. A.x heeft dus dimensie 5x1. Hiermee ken je inderdaad je n.
Om eenzelfde reden moet V dimensie 5x5 hebben.
Het verband tussen T en S dan. Als xÎT, dan is A.x=b en dus ook V.A.x=V.b, zodat xÎS. Dus is TÌS.
Omgekeerd als xÎS, dan weten we dat V.A.x=V.b. Als det(V)¹0, dan bestaat V-1, zodat V-1.V.A.x=V-1.V.b en dus A.x=b, zodat xÎT en SÌT. Als det(V)=0, dan kunnen we niet zomaar afleiden dat A.x=b of dat xÎT. Onder 'bepaalde' voorwaarden voor rang(V.A) en rang (V.A|V.b) zou A.x-b=y¹0 kunnen zijn, terwijl V.y=0. Die x'en zitten dan in S, maar niet in T. Lijkt me beetje ver gezocht...
Samengevat: Als det(V)¹0, is S=T. Als det(V)=0, dan is TÌS, maar niet noodzakelijk SÌT (alhoewel het wel kan).
5×9 en bÎ
. 