\require{AMSmath}

Oplossingen voor x²=-1 (mod p) voor p=1(mod 4)

Hallo,

Ik ben iets moeilijks tegengekomen, namelijk het volgende:
gegeven de vergelijking: x²º-1(mod p) met p priem en pº1 mod 4.

Hoe kan ik bewijzen dat de vergelijking als enige oplossingen xº+/-[(p-1)/2]! heeft?

Voor p=5 krijg je bijvoorbeeld x=+/-2.

Groetjes Nadine

nadine
Docent - zondag 4 januari 2004

Antwoord

Hoi,

Als er een oplossing s bestaat voor x²=-1 (mod p), dan kunnen we bij elke oplossing t van x²=1 (mod p) een oplossing s.t vinden voor x²=-1 (mod p). Je gaat makkelijk na dat alle oplossingen die je op die manier construeert verschillen, zodat x²=-1 (mod p) evenveel oplossingen heeft als x²=1 (mod p).
Oplossingen van x²=1 (mod p) voldoen aan p|(x-1).(x+1) en voor p2 betekent dit dat p|x-1 of p|x+1. De enige oplossingen voor x²=1 (mod p) zijn dus x=+/-1(mod p).
Er zijn dus precies 2 oplossingen voor x²=-1(mod p). Het volstaat dus te bewijzen dat [(p-1)/2]! een oplossing is voor x²=-1 (mod p) wanneer p=1(mod 4).

Op basis van een klein lijstje dat je kan maken, kan je volgend vermoeden formuleren:
Voor p=-1(mod 4) is [(p-1)/2)]!²=1(mod p) en voor p=1 (mod 4) is [(p-1)/2)]!²=-1(mod p).

De Stelling van Wilson zegt (onder andere) dat (p-1)!=-1 (mod p) voor p priem.

We hebben:
[(p-1)/2]!²=
[1.2. .. (p-1)/2].[1.2. .. (p-1)/2]=
[1.2. .. (p-1)/2].[(-1).(-2). .. (1-p)/2].(-1)^(p-1)/2=
[1.2. .. (p-1)/2].[(p-1).(p-2). .. ((p+(1-p)/2)].(-1)^(p-1)/2=
[1.2. .. (p-1)/2].[(p-1).(p-2). .. (p+1)/2)].(-1)^(p-1)/2=
(p-1)!.(-1)^(p-1)/2= (hier hebben we onze ouwe Wilson)
(-1).(-1)^(p-1)/2=
(-1)^(p+1)/2

Voor p=1(mod 4), is (p+1)/2=1(mod 2) en dus is [(p-1)/2]!²=-1(mod p).
Op dezelfde manier zie je voor p=-1(mod 4) dat (p+1)/2=0(mod 2) dat [(p-1)/2]!²=1(mod p).

Hiermee is bewezen dat +/-[(p-1)/2]! de enige oplossingen zijn voor voor x²=-1(mod p) als p=1(mod 4) en voor x²=1(mod p) als p=-1(mod 4).

Groetjes,
Johan

andros
maandag 5 januari 2004

©2001-2024 WisFaq