Ik heb daarnet ook al eens gemaild. Maar nu heb ik nog een bewijs gezien namelijk het volgende:
Het getal p is een priemgetal. h en k zijn niet-negatieve gehele getallen waarvoor geldt: h+k=p-1. Bewijs nu dat: h!*k!º(-1)^(k+1)mod p
Hoe moet ik dit dan gaan bewijzen??
Groetjes
Van de
Docent - zondag 4 januari 2004
Antwoord
NB: Johan (aka Andros) heeft mij gemeld dat hij ongeveer dezelfde vraag onlangs ook heeft opgelost, zie dus ook: showrecord3.asp?id=17387
Hieronder volgt mijn oorspronkelijke antwoord.
Hallo,
Als je modp werkt kan je h! anders schrijven: 1·2·...·h $\equiv$ -(p-1)·(-(p-2))·(-(p-3))·...·(-(p-h)) $\equiv$ (-1)h·(p-h)(p-h+1)...(p-1)
Maar p-h=k+1 Dus k!h! = 1·2·...·k·h! $\equiv$ 1·2·...·k·(k+1)·(k+2)·...·(p-1)·(-1)h = (p-1)!(-1)h
p is oneven (voor p=2 is de bewering triviaal correct), dus h en k zijn ofwel beide even, ofwel beide oneven, dus (-1)h=(-1)k.
Rest nog te bewijzen dat (p-1)!$\equiv$-1 modp...
Dat is wel mogelijk, maar met nogal een lastig argument vrees ik...
Als je naar de structuur van $\mathbf{Z}$/p$\mathbf{Z}$ kijkt weet je dat elk element a een uniek invers b heeft, dus zodanig dat ab$\equiv$1 mod p. Bovendien verschilt die a telkens van de b, behalve wanneer a=1 of p-1. (wegens eigenschappen van een veld: X2=1 heeft hoogstens twee oplossingen)
Dus in dat product (p-1)! krijg je: 1·(a·b)·(c·d)·(e·f)·...·(p-1) waarbij ab, cd, ef,... telkens 1 zijn modp.
Vb p=7: 6!=1·(2·4)·(3·5)·6
Vb p=11: 10!=1·(2·6)·(3·4)·(5·9)·(7·8)·10
Dus dit geeft inderdaad (p-1) mod p, dus -1 mod p.
Hiermee is de stelling bewezen. Misschien was er wel een eenvoudiger bewijs voor die (p-1)!, maar dat is mij dan toch ontgaan...
