\require{AMSmath}

Dit is een reactie op vraag 3418

Re: Kwadratuur van de cirkel

ai... ik heb dit ook nodig. Is er echt niet een redelijk eenvoudige manier om dit uit te leggen? Ik hoop dat u mij kunthelpen!

Jon
Leerling bovenbouw havo-vwo - zondag 4 januari 2004

Antwoord

Nogmaals, het bewijs vergt nogal wat wiskundige bagage. Bekijk het probleem echter eens op een eenvoudige manier. Je weet, neem ik aan, dat het ideaal van de Griekse meetkunde daarin zit, dat iedere constructie moet kunnen worden gemaakt met uitsluitend passer en lineaal.

Je weet dat de oppervlakte van een cirkel met straal r gelijk is aan pr². Als je een vierkant zou moeten construeren met een oppervlakte van pr², betekent dit dat de zijde van dit vierkant gelijk zou moeten zijn aan Ö(pr²), oftewel rÖp. Als je je nu realiseert dat p een irrationaal getal is, dat wil zeggen dat p een oneindig aantal niet-repeterende decimalen heeft, is het dan mogelijk om een zijde met lengte rÖp te construeren met enkel lineaal en passer?

Dat kan alleen door te kiezen r = l ´ ¹/_Öp met l een willekeurig rationaal getal. De lengte van de zijde is dan gelijk aan l ´ ¹/_Öp ´ Öp = l. Mee eens?

Kun je nu echter een cirkel construeren (met alleen passer en lineaal) met een straal van r = l ´ ¹/_Öp?

Deze laatste retorische vraag geeft min of meer aan waar hem de kneep zit. Ondanks dat deze redenering geen sluitend bewijs is, hoop is dat hij je wel een indruk geeft van waarom de kwadratuur van de cirkel niet mogelijk is.

Graag je reactie.

KLY
zondag 4 januari 2004

©2001-2024 WisFaq