\require{AMSmath}

Moeilijke logaritmische vergelijking

^alog x·^blog x+^blog x·^clog x+^clog x·^alog x
--------------------------------------=^xlog h
^alog(g.x).^blog(g.x)·^clog x

De opdracht is nu om een uitdrukking te geven voor x in functie van a, b, c, g, h. Ik geraak er niet echt goed aan uit.

steven
3de graad ASO - maandag 22 december 2003

Antwoord

Werk eerst de breuk weg en schrijf vervolgens de volledige uitdrukking in functie van logartimen met hetzelfde grondtal: vb. ifv ln(x).

Maar hiertoe gebruik van de eigenschap dat:
^alog(x)=^blog(x)/^blog(a)

Dan wordt de uitdrukking:
(ln(x))²/(ln(a)*ln(b))+(ln(x))²/(ln(b)*ln(c))+(ln(x))²/(ln(c)*ln(a))=(ln(h)(ln(gx))²ln(x))/(ln(x)*ln(a)*ln(b)*ln(c))
of na vereenvoudiging
(ln(x))²/(ln(a)*ln(b))+(ln(x))²/(ln(b)*ln(c))+(ln(x))²/(ln(c)*ln(a))=(ln(h)(ln(gx))²)/(ln(a)*ln(b)*ln(c))
We kunnen nu beide leden vermenigvuldigen met de noemer van het rechterlid en ^clog(ab)=^clog(a)+^clog(b):
(ln(x))²(ln(a)+ln(b)+ln(c))=ln(h)(ln(gx))²
Û(ln(x))²ln(abc)=ln(h)(ln(g)+ln(x))²
Û(ln(x))²ln(abc)=ln(h)ln(g)²+2ln(h)ln(g)ln(x)+ln(h)ln(x)²
Û(ln(x))²(ln(abc)-ln(h))-2ln(h)ln(g)ln(x)-ln(h)ln(g)²=0
Dit is een tweede graadsvergelijking in ln(x)
met als discriminant
D=4(ln(h)ln(g))²-4(-ln(h)ln(g)²)(ln(abc)-ln(h))=4ln(h)ln(abc)(ln(g))²

Dus ln(x)= ^{ln(h)ln(g)±ln(g)Ö(ln(h)ln(abc))}/_{(ln(abc)-ln(h))}

Als ln(x)=b Û x=e^b waaruit je twee oplossingen volgen voor x.

Mvg,

Els
dinsdag 23 december 2003

©2001-2024 WisFaq