Een vierkante Matrix is regulier als zijn Rang en Orde gelijk zijn en omgekeerd
Hoe kan je nu weten dat een matrix regulier is als en slechts als de rang van A gelijk is aan zijn orde?
Alvast bedankt! Tamara
Tamara
3de graad ASO - maandag 8 december 2003
Antwoord
Hoi,
Dit zou een filosofische vraag kunnen zijn. Het antwoord is dan: omdat het een eigenschap is die in de Lineare Algebra bewezen wordt... Maar dat is wellicht je vraag niet .
Het gaat om een vierkante matrix A die regulier is. Dit betekent dat det(A)¹0.
De rang van A bereken je door A tot een boven- of onderdriehoeksmatrix te herleiden mbv het algoritme van Gauss. Je past hierbij slechts 2 basis matrixbewerkingen toe: 1. een hele rij met een vaste coëfficiënt vermenigvuldigen 2. twee rijen met elkaar optellen. Wanneer we bekijken wat deze bewerkingen met de determinanten van die opeenvolgende matrices doen, dan zie je dat alle tussenmatrices in de Gauss-eliminatie determinanten hebben die slechts een factor verschillen van de beginmatrix. Als det(A)=0, dan moet de resulterende driehoeksmatrix ook det=0 hebben, dat betekent dat er een 0 op de diagonaal moet staan en dus dat de rang n. Omgekeerd als det(A)¹0, mag er geen 0 op de diagonaal van de driehoeksmatrix staan en is de rang dus n.
Groetjes, Johan
PS: succes met je examen! Een beetje ontspanning kan misschien deugd doen, want aan je zondvloed van vragen te zien, ben je nogal gestressed... Vraagjes beantwoorden kan helpen, maar misschien kan het je soms verwarren.
PPS: massages kunnen we jammergenoeg niet geven, alhoewel die ook heel ontspannend kunnen zijn voor een examen wiskunde
.
n. Omgekeerd als det(A)¹0, mag er geen 0 op de diagonaal van de driehoeksmatrix staan en is de rang dus n.