Je hebt een vierkant ABCD, bepaal x,y,z zodat D het barycentrum is van (A,x),(B,y) en (C,z).
ik had als oplossing: |z|=|y|=|x| en -z=y=x en x*y*z ¹0 ( het mag dus ook zijn -x=y=z of -y=z=x) dus altijd twee positieve getallen en één negatief of andersom. bijvoorbeeld: (A,-1), (B,-1) en (C,1). Mijn vraag nu: het barycentrum voor (A,x), (B,x) en (C,-x) geldt niet alleen voor de vierkant maar geldt ook voor 'parallalogrammen'. bestaat er dan een 'unieke' oplossing voor x,y,z die alleen voor de vierkant geldt?
P.S.
(1) 3GA-2GB+2GC=0 , men zegt dat G het barycentrum is van {(A,3);(B,-2);(C,2)}, en we kunnen ook schrijven: 3OA-2OB+2OC=(3-2+2)OG HIERBIJ is O een willekeurig punt.
wil je punt G gaan tekenen dan neem bijv. O=C dan is 3CA-2CB=3CG "want CC=0"
in het algemeen als: xOA+yOB+zOC= (x+y+z)OG en x+y+z niet gelijk is aan 0. dan is G het barycentrum s van {(A,x);(B,y);(C,z)}.
als bijv. x=y=z dan heb je: x(GA+GB+GC)=0 ->> GA+GB+GC=0 dus G is het zwaartpunt van driehoek ABC. http://perso.wanadoo.fr/debart/1s/barycentre.html#trois_points
FransB
Leerling bovenbouw havo-vwo - vrijdag 5 december 2003
Antwoord
Volgens mij heb je ergens een rekenfoutje gemaakt of je hoekpunten anders genummerd. Vandaar toch maar eerst even de berekening.
dan zie je dat, als D het barycentrum is van de drie gewogen punten, (vectoren duid ik aan in het vet en de hoekpunten zijn gelabeld in wijzerszin, i.e. vanuit A loopt een zijde naar B en D):
AD=y/(x+y+z)AB+z/(x+y+z)AC= op voorwaarde dat x.y.z¹0 en x+y+z¹0.
Anderzijds geldt in een parallellogram (en dus in het bijzonder in een vierkant) dat: AD=-AB+AC
Dus is y/(x+y+z)=-1 en z/(x+y+z)=1 of nog x=-y=z.
Dus dit is de unieke oplossing voor elk parallellogram en dus in het bijzonder voor een vierkant. Er bestaat een uniek barycentrum voor 3 gewogen punten. Het is vrij logisch dat dit barycentrum gelijk is voor parallellogrammen en vierkanten aangezien de som van vectoren verloopt adhv constructie van parallellogrammen. Dus enkel het evenwijdig zijn van de zijden is belangrijk, en niet de loodrechtestand.
