\require{AMSmath}

Algebra, ringen en lichamen

Hoi,

V is een willekeurige verzameling. Met P(V) bedoelen we de verzameling van alle deelverzamelingen van √(dus inclusief de lege verzameling j en de hele verzameling V zelf). In P(V) definiëren we een ‘optelling’ + en een ‘vermenigvuldiging’ . door de volgende afspraken:
A + B = (AÈB)/(AÇB) en A . B = AÇÇB
(AÈB = {x$\bot$V|x$\bot$A en/of x$\bot$B}, AÇB = {x$\bot$V|x$\bot$A en x$\bot$B} en A/B ={x$\bot$V|x$\bot$A en xÏB})

1. Als V een eindige verzameling is, dan is P(V) ook een eindige verzameling. Hoe bewijs ik dan dat als V uit n elementen bestaat, dat P(V) dan uit 2n elementen bestaat?
2. Hoe bewijs ik nu dat P(V) een ring is?
3. Is P(V) ook een lichaam?

Ik snap hier niet zo heel veel van, kan iemand mij hiermee op weg helpen?

Alvast heel erg bedankt.

Groetjes Arrienne

Arrien
Student hbo - vrijdag 28 november 2003

Antwoord

1) V bestaat uit n elementen.
Aantal deelverzamelingen met
0 elementen is $\to$ 1 (nl de ledige) of (n over 0)
1 elementen is $\to$ n (nl n singletons) of (n over 1)
2 elementen is $\to$ de binomiaalcoëfficiënt (n over 2)
3 elementen is $\to$ de binomiaalcoëfficiënt (n over 3)
...
n elementen is $\to$ de binomiaalcoëfficiënt (n over n)

$\to$ in totaal zijn er åⁿ_i=0(n over i) = (1 + 1 )ⁿ (Het binomium van Newton).
En dus zijn er 2ⁿ deelverzamelingen.

2) Ga gewoon alle eigenschappen van ring af en controleer ze één voor één.

Je kan deze eigenschappen het beste controleren aan de hand van een figuur. Ofwel moet je ze uitschrijven. Lukt het niet laat het dan gerust weten. (Maar vermeld er wel bij wat je al hebt en waar je in de knoei raakt.)

(i) De optelling moet inwendig zijn en overal gedefinieerd.
Dus als je de unie neemt van twee deelverzamelingen en je neemt het verschil met de doorsnede van die twee deelverzamelingen moet je opnieuw een deelverzameling krijgen.
(ii) De optelling is associatief
(iii) Er bestaat een neutraal element nl de de ledige verz.
(iv) Elk element heeft een invers voor de optelling nl. zichzelf
(v) de optelling is commutatief

(vi) de vermenigvuldiging is inwendig
(vii) de vermenigvuldiging is associatief

Als ik ervan uit ga dat je bedoelt dat A.B=AÇB
dan is de verzameling V zelf het neutraal element voor de vermenigvuldiging.

Maar niet elke deelverzameling heeft een invers.
Want A.B=AÇB=V kan enkel als A=B=V

Dus geen lichaam, wel een ring met eenheidselement.

PS: je kan zelfs controleren of het een commutatieve ring is met eenheidselement.

Mvg,

Els
vrijdag 28 november 2003

©2001-2024 WisFaq