Het volgende staat in mn boek maar ik vat het niet: ( op een gegeven moment heb ik voor het gemak "h" geschreven ipv dx)
een grafiek met een kromme lijn waarop 2 punten zich bevinden. Punt P en een verder gelegen punt Q. S= f(x+h)-f(x). a hoek tussen de x-as en een raaklijn van P.
P be a typical point on the curve with coordinates (x,y). The coordinates of a neighbouring point Q can be written as (x+dx,y+dy) where the small change dx (= vanaf nu h) in x produces the small dy in y. The expression ( f(x+h)-f(x) ) / h = tan QPS is then the slope of the straight line joining the points P an Q, and may be thought of as the mean value of the gradient of the curve y=f(x) in the range (x,x+h). As the point Q approaches P, may approach a limiting value given by. lim h®0 ( ( f(x+h)-f(x) ) / h )= l If this limit exist then geometrically this implies the existence of a tangent such that l = tan a, where a is the angle between the tangent at P and the x-axis.
Het bovenste stukje heb ik erbij geschreven om het "plaatje" denkbeeldig te maken voor jullie. Het stuk dat onder "and may be thought t/m p and the x-axis" vat ik niet. Ik kan me ook geen limiet ( een lijn in mijn gedachte )voorstellen bij zoiets. En wat heeft die limiet dan te betekenen, want dat wordt verder in mn boek niet uitgelegd .
Het is een heel verhaal, mijn excuses hiervoor. Bij voorbaat dank! Geert
Geert
Student hbo - woensdag 26 november 2003
Antwoord
Het punt Q ligt op een bepaalde afstand van punt P op kromme en de richtingscoëfficiënt van de verbindingslijn PQ is gelijk aan het zogenaamde differentiequotiënt. De formule hiervoor is: [f(x+h) - f(x)]/h
Als nu h héél klein wordt (dus tot nul nadert), dan komt Q vlak bij P te liggen. De verbindingslijn PQ wordt dan vrijwel de raaklijn in punt P. Je weet dat de richtingscoëfficiënt van een lijn hetzelfde is als de tangens van de hoek die de lijn maakt met de x-as. Nadat nu onder invloed van h->0 de verbindingslijn PQ is overgegaan in de raaklijn in punt P, is de richtingscoëfficiënt van die verbindingslijn PQ overgegaan in die van de raaklijn in P. En het is deze limiet waarover men het heeft.
.