in mijn boek staan een paar sommen en ik snap dr bar weinig van!
de 1e: Gegeven zijn de families van parametervoorstellingen: x = cos t y= cos (t-a)
en x = cos t y = cos (t- b) Er geldt: l b - a l = pi Toon door berekening aan de twee krommen elkaars gespiegelde zijn in de x - as ??????????? :S Wat voor eigenschappen ofzo heeft een gespiegelde kromme?? en kan iemand mij de berekening uitleggen?
de 2e som: Gegeven is de familie van parametervoorstellingen: x = sin (t+a) y = cos 0.5 t a) geef de periode van de krommen -- 4 pi, dat snap ik wel b) Plot de kromme voor a=1 en zoek de waarden van t waar de kromme zichzelf snijd. -- hoe is die waarde te bepalen? kun je die berekenen? zijn dan x en y gelijk aan elkaar ofzo? c) Plot de kromme voor de waarden a=2, a=3, en a=4. Voor welke waarden van a snijdt de kromme zichzelf in het punt (0,0) -- hoe is die waarde van a te bepalen? d) Voor welke waarden van a krijg je een kromme die twee keerpunten bevat - hoe valt dat te bepalen?
Ik heb de antwoorden wel. Maar ik snap echt niet hoe ze er bij komen. Hoe kan ik dit doen? Ik hoop dat iemand me kan helpen!
Evelie
Leerling bovenbouw havo-vwo - zaterdag 22 november 2003
Antwoord
K1={ x=cos(t); y=cos(t-a) K2={ x=cos(t); y=cos(t-b) ook geldt: |a-b|=p zonder verlies van algemeenheid kunnen we aannemen dat ba dus b-a=p oftewel b=a+p
dan geldt met behulp van de substitutie u=t-a en de eigenschap dat cos(x-p)=-cos(x) dat: y_K2=cos(t-b)=cos(t-a-p)=cos(u-p)=-cos(u)=-cos(t-a)=-y_K1
nu hebben de krommen K1 en K2 voor elke t dezelfde x-waarde maar tegengestelde y-waarden waaruit volgt dat ze elkaars spiegelbeeld zijn (na spiegeling in de x-as)
VRAAG 2: a) x is periodiek met periode 2*p, y is periodiek met periode 4*p dus de kromme is periodiek met periode lcm(2*p,4*p)=4*p QED (lcm = kleinste gemene veelvoud (least common multiple))
b) die waarde is te bepalen door te kijken voor welke 2 verschillende t-waarden (op (0-4*p]) de x en de y waardes gelijk zijn, maw door het volgende stelsel op te lossen: x: sin (t1+1)=sin (t2+1) y: cos (0.5*t1)=cos (0.5*t2)
2: cos (0.5*t1)=cos (0.5*t2) => 0.5*t1=0.5*t2+2kp of 0.5*t1=-0.5*t2+2kp => t1=t2+4kp of t1=-t2+4kp en omdat de oplossingen verschillend dienen te zijn en dienen te liggen in het interval (0,4*p] volgt: t1+t2=4*p dus: t2=4*p-t1
x: sin(t1+1)=sin(4*p-t1+1)=sin(-t1+1)=sin(1-t1) =>(t1+1)=(1-t1) mod 2*p of (t1+1)=p-(1-t1) mod 2*p
=>2*t1=0 mod 2*p of p=2 de laatste is obviously wrong dus: t1=0 mod p hetgeen als enige niet triviale antwoord geeft: (t1,t2)=(p,3*p)...
c) b) die waarde is te bepalen door het volgende stelsel op te lossen: x: sin (t1+a)=sin (t2+a)=0 y: cos (0.5*t1)=cos (0.5*t2)=0
d) een keerpunt is een punt waar de snelheid 0 is dus: x'(t)=y'(t)=0
succes met de twee laatste deelopgaven groet Martin
4 pi, dat snap ik wel