Wat is een Fermatpriemgetal? Kan je daarvan een voorbeeld en een tegenvoorbeeld geven?
Van Gi
Student universiteit - vrijdag 22 februari 2002
Antwoord
"Gauss ontdekte al op 18-jarige leeftijd met algebrïsche middelen dat er een passer-en-liniaalconstructie bestaat voor elke regelmatige p-hoek waarvoor p een Fermat-priemgetal is, dat wil zeggen een priemgetal van de vorm p = 2m + 1, waarbij m = 2k een macht is van 2. In het bijzonder zijn er dus constructies voor de regelmatige driehoek (k = 0) en de regelmatige vijfhoek (k = 1), zoals ook de oude Grieken al wisten. Maar dat het ook kan voor de regelmatige 17-hoek (k = 2), de regelmatige 257-hoek (k = 3), en de regelmatige 65537-hoek (k = 4) kwam als een volslagen verrassing. Bij Gauss heeft het vinden van dit resultaat in belangrijke mate bijgedragen aan zijn beslissing om zijn leven verder aan de wiskunde te wijden. Naast de genoemde Fermatpriemgetallen 3, 5, 17, 257 en 65537 zijn er geen andere Fermat-priemgetallen bekend. Het kleinste getal k waarvoor niet bekend is of Fk = 22k + 1 priem is, is k = 22. Het door Fermat uitgesproken vermoeden dat alle Fermatgetallen priemgetallen zijn, werd reeds gelogenstraft door Euler, die ontdekte dat F5 = 641×6700417. Dit is overigens een van de heel zeldzame keren geweest dat Fermat een vermoeden uitsprak dat achteraf onjuist is gebleken!"
