\require{AMSmath}

Magische vierkanten vergroten

Hoe maak je nou een magisch vierkant van 10x10. Alle andere kan ik oplossen, behalve de 6, 10, 14 enz.

david
Leerling bovenbouw havo-vwo - donderdag 21 februari 2002

Antwoord

Beste David,

Laat ik als voorbeeld een 6 bij 6 magisch vierkant maken.

We kunnen beginnen met een bekend magisch vierkant van 4 bij 4:

         1  15  14   4      
        12   6   7   9      
         8  10  11   5      
        13   3   2  16

De som is steeds 34. Als we van alle getallen 8.5 afhalen, dan wordt de som steeds 0, en bovendien gebruiken we dan alle getallen van -7.5 tot 7.5.

     -7.5    6.5   5.5   -4.5
      3.5   -2.5  -1.5    0.5
     -0.5    1.5   2.5   -3.5
      4.5   -5.5  -6.5    7.5

Om een 6 bij 6 vierkant te maken met rijsommen van 0 moeten we om dit vierkant een rij getallen plakken. De totale som blijft nul, dus er moeten evenveel positieve als negatieve getallen bij. Bovendien moeten de getallen opeenvolgend blijven.

Er moeten 20 getallen bijkomen, dus komen we tot 10 getallen van 8.5 t/m 17.5 en nog eens 10 getallen van -8.5 t/m -17.5.

Nu voegen we aan het begin en eind van een rij uit het 4 bij 4 vierkant steeds getallen van tegengesteld teken, en aan het begin en eind van een kolom ook: dan blijven de rijsommen en kolomsommen mooi nul. We doen hetzelfde met de twee uiteinden van de diagonalen.

Nu is het verder een kwestie van proberen. Kies eerst de hoekpunten, bijvooorbeeld:

    8.5  *  *  *  *  9.5
     *   x  x  x  x   *
     *   x  x  x  x   *
     *   x  x  x  x   *
     *   x  x  x  x   *
   -9.5  *  *  *  * -8.5

Nu heb je nog de getallen +-10.5, +-11.5, +-12.5, +-13.5, +-14.5, +-15.5, +-16.5 en +-17.5 over.

De eerste kolom van het nieuwe vierkant heeft voorlopig een som van -1 en de eerste rij een som van 18.

We gaan nu van elk 2-tal +-... de + of - kiezen, zodat de eerste rij en eerste kolom somrij nul krijgen. De laatste rij en laatste kolom gaan dan automatisch goed doordat je daar het tegengestelde teken neemt.

Dit lukt met

- 10.5 - 11.5 - 13.5 + 17.5 = -18

14.5 + 15.5 - 12.5 - 16.5 = + 1

Nu kun je de rest zo invullen. Dan heb je een zes bij zes magisch vierkant met somrij nul. Natuurlijk wil je geen -17.5 maar 1 als kleinste getal. Dus tel je bij alle getalletjes 18.5 op. En je bent klaar.

Het maken van 8 bij 8 en 10 bij 10 magische vierkanten gaat precies eender.

FvL
woensdag 27 februari 2002

©2001-2024 WisFaq