\require{AMSmath}

Dit is een reactie op vraag 16124

Re: Formule an

Als uitkomst van A^n=TD^nT^-1 heb ik

[2.2^n - 1^n 2.2^n + 2.1^n]
[2^n + 1^n 2^n - 2.1^n ]

Ik weet dat dit niet goed is, want ik snap namelijk de volgende 2 dingen niet:
* Wat bedoel je met delen door de determinant bij de berekening van T^-1?

* Moet ik de beginvoorwaarden a0=3 a1=2 ook met de matrices vermenigvuldigen?

Liefs Anna

Anna
Student hbo - zondag 16 november 2003

Antwoord

Als

T = [2 -1]
    [1  1]

dan is

T-1 = [ 1/3  1/3]
     [-1/3 -2/3].

Je zit er dus wat T^-1 betreft een factor 1/3 naast. Inderdaad geldt dat

Aⁿ⁺¹ = T Dⁿ⁺¹ T^-1

met

Dn+1 = [2n+1    0  ]
      [ 0  (-1)n+1]

Daar zit je tweede fout: (-1)^k is hetzelfde als niet -1^k. Als je die fouten eruit haalt bekom je dat

An+1 = (1/3) [2.2n+1 + (-1)n+1    2.2n+1 -  (-1)n+1]
            [  2n+1 - (-1)n+1      2n+1 + 2(-1)n+1]

De (n+1)-ste macht van A hadden we nodig omdat

[a(n+2)] = An+1 [a(1)]
[a(n+1)]       [a(0)]

Werk dat produkt uit en dan staat er

a(n+2) = (10/3)2n+1 - (4/3)(-1)n+1
a(n+1) = (5/3)2n+1 + (4/3)(-1)n+1

Dat is natuurlijk twee keer hetzelfde. Vervang n eens door m+1 in de tweede vergelijking om jezelf te overtuigen. n+1 vervangen door m in de tweede vergelijking zet die laatste in een iets "handigere" gedaante

a(m) = (5/3)2^m + (4/3)(-1)^m

en dat is meteen ook de gevraagde oplossing.

cl
maandag 17 november 2003

©2001-2024 WisFaq