Wat zijn de nuldelers van de polynomen in modulo 15? Wat ik zelf gevonden heb was dat de coefficienten van de polynomen veelvoud van 3 respectievelijk 5 moeten zijn;
Alleen bij vermenigvuldiging van twee polynomen (waarvan niet alle coefficienten een veelvoud van 3 of 5 zijn, wel de kopcoefficienten en de constanten) kunnen er in het midden termen van dezelfde graad ontstaan die later bij vereenvoudiging gesommeerd moeten worden; deze moeten ook 0(mod15) geven.
Volgens mij kan deze situatie niet voorkomen. ik kan hier alleen bewijs noch aantoning voor geven.
Kunt u mij hiermee helpen???
Mark R
Student universiteit - zaterdag 15 november 2003
Antwoord
Dag Mark,
Die situatie kan inderdaad niet voorkomen: stel dat je een m-degraads en een n-degraads polynoom hebt. De kopcoëfficiënt van de m-degraads is een vijfvoud, die van de n-degraads is een drievoud.
Dus: (5axm+kxm-1...)(3bxn+lxn-1...) waarbij a geen 3voud is en b geen 5voud.
In de uitkomst van het product valt dan de term in xm+n weg, wat gebeurt er met die in xm+n-1? Die heeft coëfficiënt 5al+3bk. Ofwel is l=0 en k=0. Ofwel is l=0 en k¹0, dan moet 3bk een 15voud zijn, dus k een 5voud. Ofwel is l¹0 en k=0, dan moet 5al een 15voud zijn, dus l is een 3voud. Ofwel zijn ze allebei ¹0. Opdat 5al+3bk een 15voud is, moet 3bk een 5voud zijn dus moet k een 5voud zijn. En 5al moet een 3voud zijn, dus l moet een 3voud zijn.
In elk geval moet dus k een 5voud zijn, en l een 3voud.
Hierna kan je inductie gaan toepassen: voor m+n-2 krijg je 3 termen, maar één daarvan is zeker een 15voud, namelijk klxm+n-2. Er zijn dus maar twee nieuwe, en daarop kan je voorgaande redenering toepassen. Algemeen stel je dat de eerste k termen van beide polynomen 5vouden resp. 3vouden zijn en bewijs je analoog dat ook de volgende term van beide polynomen een 5voud resp 3voud is.
modulo 15? 