\require{AMSmath}

Dit is een reactie op vraag 16145

Re: Theorie integraal omwentelings lichaam

Je schrijft: 'Die ringen waarvan je spreekt zijn eigenlijk geen schijven maar afgeknotte kegels.'

Daar zit het probleem. Waarom mag ik geen ringen gebruiken? Ik kan namelijk wel ringen (schijven) gebruiken om de inhoud van een omwentelingsparabool te berekenen. Maar plotseling niet meer als ik de oppervlakte wil berekenen.

Zoals je schrijft r₁ en r₂ zijn bij benadering gelijk -$>$ dus een cilinder.

mvg

sven d
Iets anders - vrijdag 14 november 2003

Antwoord

In feite is er meer aan de hand dan dat.
Je werkt inderdaad met een cilinderschijf maar niet die met kleinse straal of met grootste straal maar wel met een "tussenin liggende" straal. Dus we gaan de zijdelingse oppervlakte van de afgeknotte kegelbenaderen door de zijdelingse oppervlakte van een cilinderschijf maar met een goed gekozen straal.

Laat het mij zo volledig mogelijk neerschrijven:
We vertrekken van de afgeknotte kegel. Het apothema (schuine zijde) is gelijk aan

f is continu in [x_i-1,x_i] en differentieerbaar in ]x_i-1,x_i[.
Volgens de stelling van Lagrange bestaat er een c_i in ]x_i-1,x_i[
zodat .
En dus is het apothema gelijk aan .
In de straal op halve hoogte R=|f(¹/₂(x_i+1+x_i)| kunnen we de halve hoogte beter benaderen door c_i.
En dus wordt de zijdelingse oppervlakte benaderd door:

Door alle deze benaderingen op te tellen en onbeperkt te verfijnen stappen we via het nemen van een limiet van een som over op de integraal zoals gegeven in vorig antwoord.

Misschien is dit antwoord iets duidelijker?

Mvg,

Els
maandag 17 november 2003

©2001-2024 WisFaq