Ik weet dat Euler een formule voor priemgetallen heeft gemaakt (n2+n+41). Deze formule geldt alleen voor 1$\leq$n$<$40. Valt dit te bewijzen (Zo ja, hoe)?
S.Niem
Leerling bovenbouw havo-vwo - woensdag 12 november 2003
Antwoord
Hoi,
Voor n=1..39 is f(n)=n2+n+41 hoogstens 1601. Het kleinste priemgetal p met p2$>$1601 is (toevallig) 41. Het volstaat dus om voor n=1..39 te controleren dat f(n) niet deelbaar is door geen enkel van de rij priemgetallen 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37. Eigenlijk volstaat het om voor een bepaalde n enkel die priemgetallen p te checken waarvoor p2$\leq$f(n).
Voor n=40 zie je dat f(n)=n(n+1)+41=40.41+41 en dit is duidelijk deelbaar door 41. Voor sommige n$>$40 zal f(n) ook wel een priemgetal zijn, maar dat moet je ook geval per geval bekijken.
