is mijn antwoord correct: d periode van sin 3x + sin 9x + sin 12x is 2/3pi
kan men nu als gevolg stellen dat de periode voor de som van sinusfuncties het kleinste gemeen veelvoud van de afzonderlijke periodes is? Als dit zo is, hoe bepaal ik eigenlijk gemakkelijk het KGV van rationale getallen?
Dank bij voorbaat
Annick Renders
Annick
Ouder - dinsdag 11 november 2003
Antwoord
Die oplossing klopt inderdaad.
En die algemene formule is intuitief ook wel juist, alleen zit je daar met het probleem dat je spreekt over het kgv van een aantal periodes, bv het kgv van 2p/3 en 2p/9, en dan is de vraag: hoe definieer je dat? Vandaar dat het afsplitsen van 2p nodig is, op die manier krijg je dan wel het kgv van gehele getallen.
Algemeen: sin(ax)+sin(bx)+sin(cx)+... heeft als periode: 2p/ggd(a,b,c,...) als a,b,c,... positieve gehele getallen zijn.
Als je negatieve getallen gaat toelaten (vb sin(-3x), maar dat is gelijk aan -sin(3x)) dan ga je met verschillen werken ipv sommen. En dan kan het zijn dat er plots een kleinere periode uitkomt. Om een eenvoudig voorbeeld te geven: sin(2x)+sin(3x)-sin(3x) heeft volgens de formule periode 2p, maar in werkelijkheid periode p. Nu zag je in dit geval direct dat je twee termen kan schrappen, maar zo eenvoudig is het niet altijd.
Als je (positieve) rationale getallen toestaat voor je coefficienten krijg je volgende situatie: sin(ax/b) heeft periode 2bp/a. sin(ax/b)+sin(cx+d): de eerste term heeft periode 2bp/a, de tweede term periode 2pd/c We moeten nu dus het kleinste getal vinden dat een geheel aantal keer de eerste periode is, en een geheel aantal keer de tweede. 2pkgv(b/a,d/c)=? Ik dacht eerst aan 2pkgv(a,c)/kgv(b,d) maar dat klopt niet: kies bv voor a/b=1/2 en c/d=2/1...
Je kan natuurlijk die dingen altijd op het zicht proberen oplossen: als je bv het kgv wil berekenen van 3/8 en 5/7, dan moet je zeker al die factoren 5 en 3 in de teller hebben, en in de noemer mag je alleen de ggd van de noemers steken denk ik... Dus hier is de uitkomst dan 15
Algemeen zou ik dus zeggen: 2pkgv(b,d)/ggd(a,c) Dat klopt in elk geval al met deze twee voorbeelden, en waarschijnlijk is het dan ook uit te breiden tot een situatie met meer termen, als volgt: sin(t1x/n1)+sin(t2x/n2)+...+sin(tpx/np) (waarbij de t en de n voor teller en noemer staan) zou dan periode hebben: 2pkgv(noemers)/ggd(tellers)
Als ik nog een tegenvoorbeeld vind (ik hoop van niet natuurlijk) laat ik dat nog wel weten...
