Men vormt alle mogelijke getallen van 3 cijfers met de cijfers 1,2,3,4,5 en rangschikt deze getallen in stijgende volgorde. a) Hoeveel dergelijke getallen zijn er? b) Bepaal de rangnummers vd getallen 312,333,452. c) Welk getal staat op de 16de plaats. Gelieve de bereking te geven anders kan ik er niet aan uit.
Kim
3de graad ASO - maandag 10 november 2003
Antwoord
Hoi Kim,
a) bedenk dat elk getal 3 cijfers heeft. Voor het eerste cijfer zijn 5 mogelijkheden. Voor de tweede ook. Dus voor een getal van 2 cijfers zouden 5·5 mogelijkheden zijn. Voor een getal van 3 cijfers 5·5·5 = 53 mogelijke getallen met alleen maar 1,2,3,4 of 5en.
b) Ik ga er hier vanuit dat je met de rangnummers bij 1 begint. Begin je bij 0, dan moet je van de antwoorden hieronder 1 aftrekken. Rangschik je alle getallen, dan krijg je eerst alle getallen die met een 1 beginnen. Dan alle getallen met een 2 aan het begin, enzovoort. Het begint dus met 25 getallen met een 1 vooraan. De volgende 25 getallen beginnen met een 2. De volgende 25 getallen beginnen met een 3. Dit zijn dus getal 51 tot en met 75. Onder deze getallen vinden we eerst 5 getallen die met 31 beginnen. Dan 5 die met 32 beginnen, enzovoort. 311 is het 51ste getal 312 is dus het 52ste getal. 331 is het 61ste getal 333 is dus het 63 ste getal. 452 kun je nu vast zelf wel uitrekenen.
c) We zagen al dat de eerste 25 getallen met een 1 beginnen. Het 16e getal zal dus met een 1 beginnen! Met 11 beginnen getal 1 tot en met 5 met 12 beginnen getal 6 tot en met 10 met 13 beginnen getal 11 tot en met 15 met 14 beginnen getal 16 tot en met 20 met 15 beginnen getal 21 tot en met 25
Het 16e getal is dus 141!
Het volgende is hier een aanvulling op. Het is niet noodzakelijk dat je het snapt, maar geeft misschien wat meer inzicht. Ken je al de verschillende talstelsels? Zoals het binaire stelsel of het 8 tallige stelsel. Vergelijk dan dit hierboven dan eens met het 5-tallige stelsel. Daarbij wordt niet gewerkt met de getallen 1 tot en met 5, maar 0 tot en met 4 wordt gebruikt. Alleen begin je in het 5-tallig stelsel bij 0. In 5 tallige notatie staat getal 312 dan op positie 201 en dat is omgerekend naar tientalig: 2·25+1 = 51. Je telt hier nog 1 bij op, omdat je bij 1 begon met tellen. Dus 52. Bij c) ben je dan op zoek naar de 5-tallige notatie van 15: 030. Dat correspondeert dus met 141 zoals we al vonden.
