Beginnen alle primitieve pythagoreische tripels met een oneven getal?
ms
Leerling bovenbouw havo-vwo - maandag 10 november 2003
Antwoord
Hallo,
De algemene formule, waarmee je elk pythagorisch drietal kan vinden, is: (2st,s2-t2,s2+t2) Dus (2st)2+(s2-t2)2=(s2+t2)2
Voor primitieve tripels komt het eropaan dat 2st en s2-t2 geen gemeenschappelijke delers hebben. Dit is gelijkwaardig met:
vind s en t zodat één van de twee even is, en de andere oneven (anders is je drietal deelbaar door 2)
zorg dat s en t onderling ondeelbaar zijn (anders is je drietal deelbaar door ggd(s,t))
In dit geval zal je dus altijd een drietal hebben van de vorm (even,oneven,oneven) of (oneven,even,oneven) want 2st is altijd even en s2-t2 is altijd oneven wegens de eerste eis.
NB: Merk op dat (oneven,oneven,even) onmogelijk is: een oneven in het kwadraat heeft altijd rest 1 bij deling door 4, dus als je er zo twee bij elkaar optelt krijg je rest 2 bij deling door 4, dit is een even getal dat geen viervoud is, en dat kan nooit een kwadraat zijn.
De vraag is dan: beginnen de geordende drietallen allemaal met een oneven, maw geldt steeds dat s2-t2 2st?
Nee dus: kies bv s=9, t=2: 362+772=852 (36,77,85) is dus een primitief tripel dat met een even getal begint, en als je s en t ver genoeg uit elkaar kiest kan je oneindig veel zulke voorbeelden construeren...
2st?