\require{AMSmath}

Stoeien met formules

Ik zit vast bij de volgende vraag:

Bewijs:
cos⁴p/8 + cos⁴3p/8 + cos⁴5p/8 +cos⁴7p/8 = 3/2

alvast bedankt

eef
3de graad ASO - woensdag 5 november 2003

Antwoord

Bij dergelijke oefeningen komt het erop aan eerst de macht te verlagen.
In dit geval ligt de volgende formule voor de hand:
cos²x-sin²x=cos(2x) Û 2cos²x-1 = cos(2x) Û 1-2sin²x=cos(2x).
Dus: cos²x=¹/₂(1+cos(2x))
En vervolgens kan je de optelformules (of de formules van Simpson) gebruiken.

Zie ook op volgende link: Regel van Simpson en verdubbelingsformule cosinus
of ga in de rechterkolom naar Zoeken en zoek op Simpson.
En je vindt nog een hele reeks voorbeelden.

cos⁴(p/8) + cos⁴(3p/8) + cos⁴(5p/8) +cos⁴(7p/8)
= (¹/₂(1+cos(p/4))²+(¹/₂(1+cos(3p/4))²+(¹/₂(1+cos(5p/4))²
+(¹/₂(1+cos(7p/4))²
= ¹/₄(1+2cos(p/4)+cos²(p/4)+1+2cos(3p/4)+cos²(3p/4)
+1+2cos(5p/4)+cos²(5p/4)+1+2cos(7p/4)+cos²(7p/4))
= 1 + ¹/₂(cos(p/4)+cos(3p/4)+cos(5p/4)+cos(7p/4)
+ ¹/₄(cos²(p/4)+cos²(3p/4)+cos²(5p/4)+cos²(7p/4))
= 1 + ¹/₂( (cos(p/4)+cos(3p/4)) + (cos(5p/4)+cos(7p/4)) )
+ ¹/₈(1+cos(p/2)+1+cos(3p/2)+1+cos(5p/2)+1+cos(7p/2))
= 1 + ¹/₂ ( 2cos(4p/8)cos(-2p/8) + 2cos(12p/8)cos(-2p/8) + ¹/₈(4+0)
= 1 + (0+0) + ¹/₂ = ³/₂

Mvg,

Els
woensdag 5 november 2003

©2001-2024 WisFaq