\require{AMSmath}

Cumulative verdeling

Een hotel heeft 50 tweepersoonskamers, met douche en bad. Gemiddeld neemt 80% van de gasten een douche en de rest een bad. Een douche verbruikt gemiddeld 25 liter water, met spreiding 7 liter. Voor een bad is gemiddeld 70 liter water nodig met spreiding 15 liter. Beide zijn normaal verdeeld. Bereken de cumulatieve verdeling en de verwachte waarde van het waterverbruik per gast. De variantie hierop bedraagt 408,2. (dat hoef je niet na te rekenen). Hoe groot is (bij benadering) de kans dat het totale waterverbruik in de kamers groter is dan 4000 liter als het hotel volzet is.

De verwachte waarde denk ik zo uit te rekenen:
E(X_i)
= E(E(X_i|Y_i)) -- Y staat voor bad of douche
= E(X_i|Bad)P(Bad) + E(X_i|Douche)P(Douche)
= 70 · 0.2 + 25 · 0.8
= 34

Is de cumulatieve verdeling de integraal van de dichtheid van de normale verdeling? Dus
F_x = $\int{}$f_xdx
= $\int{}$ (¹/_{$\sigma$√2$\pi$}) · e^{-(x-$\mu$)2/_2$\sigma$2}
= $\int{}$ (¹/_{408.2√2$\pi$}) · e^{-(x-34)2/_2·408.2}
Of is dit onzin? Want wat kun je hier verder mee?

Om de kans dat het totale waterverbruik in de kamers groter is dan 4000 liter te berekenen heb ik de centrale limietstelling geprobeerd.
Omdat er 100 gasten zijn:
$\mu$ = 100 · 34 = 3400
$\sigma$ = 100 · 408.2 = 40820
P(X $>$ 4000)
= P(Z $>$ ^x-$\mu$/_$\sigma$)
= P(Z $>$ ^{4000 - 3400}/₄₀₈₂₀
= P(Z $>$ 0.01469..)
= 0.4950 (Tabel standaardnormale verdeling)
Maar dit antwoord lijkt me onwaarschijnlijk. Ik zou zeggen dat die kans een stuk kleiner moet zijn.

Kunt u me vertellen wat ik wel en niet goed doe? Een hoe is de variantie berekend?

Gertja
Student universiteit - zondag 2 november 2003

Antwoord

Als het watergebruik bij douchen een variantie van 49 heeft en bij het nemen van een bad deze variantie 225 per persoon bedraagt lijkt die 408 wellicht wat veel. Maar het klopt toch door het verschil van die 25 en die 70 liter.

Toch vreemd om bij twee duidelijk verschillende basisverdelingen de (grote) standaarddeviatie in het watergebruik per persoon op deze manier te bepalen en hieruit vervolgens de standaarddeviatie van de somvariabele af te leiden. Ik vraag me af of dat op deze manier wel terecht is. Door simulatie van een paar honderd runs zou je wel een idee kunnen krijgen of die 40820 wel klopt.

De grootste fout die je zelf verder in de berekening maakt is dat niet s maar s² gelijk is aan 40820.

De echte cumulatieve verdeling lijkt me nog al lastig uit te rekenen aangezien er strikt genomen sprake is van combinatie van een binomiale verdeling (keuze bad/douche) en twee normale verdelingen (waterverbruik). Volgens mij moet je dan ook alleen de benaderende normale vedeling voor het TOTALE watergebruik vastleggen.

Met vriendelijke groet

JaDeX

jadex
zondag 2 november 2003

©2001-2024 WisFaq