\require{AMSmath}

Vereenvoudigen

Gegeven:
(x+1)³ + 3x(x+1)²

Antwoord:
(x+1)² . (4x+1)

Kunt u mij uitleggen hoe te komen tot deze vereenvoudiging.

Dank u
Groet Dick.

de Voo
Leerling bovenbouw havo-vwo - woensdag 29 oktober 2003

Antwoord

Beste de Voogt,

Begin met het uitvermenigvuldigen (haakjes wegwerken) van het gegeven. Ik neem aan dat je dit nog kan, en dus zelf ook op:
4x³+9x²+6x+1
Kan komen.

Vervolgens moeten we dit dus eigenlijk ontbinden in factoren. Ofwel schrijven als (a+x)(b+x)(c+x).
Er moet dan tevens gelden dat als:
(a+x)(b+x)(c+x)=0 dan a+x, b+x of c+x nul is.
Het is makkelijk in te zien dat -1 een oplossing is:
4·(-1)³+9·(-1)²+6·(-1)+1=0
Dus een van de drie termen moet wel x+1 zijn.
Nu kunnen we 4x³+9x²+6x+1 delen door x + 1
Dat geeft:
4x²+5x+1
Ofwel:
4x³+9x²+6x+1 = (x+1)(4x²+5x+1)
Nu zie je misschien wel dat ook bij 4x²+5x+1=0, -1 een oplossing is, dus opnieuw delen door x+1 geeft, 4x+1
En geldt er dus:
4x²+5x+1 = (x+1)(4x+1)
Maar dus ook:
4x³+9x²+6x+1
= (x+1)(4x²+5x+1)
= (x+1)(x+1)(4x+1)
= (x+1)²(4x+1)

Hopelijk begrijp je het zo.

Een mede-beantwoorder merkte ook de volgende oplossing op:
Misschien is het eenvoudiger te constateren dat beide termen van de gegeven som de factor (x+1)² bevatten.
Deze buiten haakjes brengen levert:
(x+1)²(x+1+3x)=(x+1)²(4x+1).

Ligt waarschijnlijk inderdaad wat meer voor de hand :D

M.v.g.
Peter

PHS
woensdag 29 oktober 2003

©2001-2024 WisFaq