\require{AMSmath}

Eerste orde differentievergelijkingen

Hallo,

ik zit met het volgende probleem:
Ik moet een oplossing bepalen van een beginwaardeprobleem. Gegeven: 6xt - 5xt-1 + xt-2 = 2 (t=2,3,...) x0 =1 x1 =3

Als de verzameling rijen xt =a(1/2)^t + b(1/3)^t + 1 (t=0,1,....), waarbij a,b Î de algemene oplossing is.

Hoe kom ik tot onderstaand antwoord?

Alvast bedankt

ps. antwoord is: a=12 en b=-12

Mark D
Student universiteit - donderdag 23 oktober 2003

Antwoord

6x_t - 5x_t-1 + x_t-2 = 2
met als beginwaarden: x₀ =1 en x₁ =3

x_t =a(¹/₂)^t + b(¹/₃)^t + 1

6x_t - 5x_t-1 + x_t-2
= 6(a(¹/₂)^t + b(¹/₃)^t + 1)-5(a(¹/₂)^t-1 + b(¹/₃)^t-1 + 1)+(a(¹/₂)^t-2 + b(¹/₃)^t-2 + 1)
=a(¹/₂)^t-2(6(¹/₂)²-5(¹/₂)+1) + b(¹/₃)^t-2(6(¹/₃)²-5(¹/₃)+1) + (6-5+1)=2.

Dus de rij {x_t}_t=0,1,2,... is een rij van oplossingen.
Uit die rij moeten we de gepaste oplossing kiezen die correspondeert met onze beginvoorwaarden: x₀ =1 en x₁ =3
Dus krijg je een stelsel met volgende twee voorwaarden:
x₀=a(¹/₂)⁰+b(¹/₃)⁰+1=a+b+1=1
x₁=a(¹/₂)¹+b(¹/₃)¹+1=3
Ûa+b=0 en ^a/₂+^b/₃+1=3

Hieruit haal je heel eenvoudig de waarden a=12 en b=-12

Mvg,

Els
donderdag 23 oktober 2003

Re: Eerste orde differentievergelijkingen

©2001-2024 WisFaq