\require{AMSmath}

Recursievergelijking

We hebben voor een po de volgende formule gebruikt:
Un=46x(1 2/3)^n-12xn
We willen graag weten of je in plaats van deze rangnummerformule ook een recursie vergelijking kunt maken.
De rij is meetkundig, dus zou er iedere keer een zelfde reden moeten zijn, maar die is er niet. De redenen zijn achtereenvolgens: 1,405; 1,6046; 1,7053; 1,7344; 1,7318; 1,71; 1,706; 1,706; 1,6949; 1,6801; 1,67; 1,67
Moet je voor ieder gedeelte een aparte recursie vergelijking maken, of kan je wel één algemene recursievergelijking maken?
De achtergrondinformatie: Vanaf het jaar 1844 maakten de trollen jacht op kabouters. Iedere 3 jaar kregen ze er 2 te pakken.
Ik hoop dat u ons kan helpen. Met vriendelijke groet,
Karin Verbruggen

Karin
Leerling bovenbouw havo-vwo - woensdag 22 oktober 2003

Antwoord

Vooraf: als de reden niet constant is, dan is de rij niet meetkundig!

Of het expliciete voorschrift voor het probleem juist is, laat ik aan jou over. Ik geef je nu een techniek waarmee je expliciete voorschriften kan omvormen tot recursievergelijkingen. De methode is geldig in gevallen waarin dat expliciete voorschrift bestaat uit termen van de vorm (c_k.n^k+...+c₀).pⁿ, maar ik laat de theoretische achtergrond achterwege.

We bouwen nu als volgt een veelterm, die we de karakteristieke veelterm noemen. Elke term van bovenstaande vorm correspondeert met een factor (z-p)^k+1in de veelterm.

De expliciete vorm in je vraag bestaat uit twee termen van de vereiste vorm

term1 = (46).(5/3)ⁿ (46 is een veelterm van graad 0)
term2 = (-12n).(1)ⁿ (-12n is een veelterm van graad 1)

De factoren die er bij horen zijn

factor1 = (z-5/3) (exponent 0+1=1)
factor2 = (z-1)² (exponent 1+1=2)

De karaktistieke veelterm is dus

(z-1)²(z-5/3) = z³ - 11z²/3 + 13z/3 - 5/3


Vervang nu z^m door U(n+m) (opgelet voor de constante term!) en stel het resultaat gelijk aan nul

U(n+3) - (11/3)U(n+2) + (13/3)U(n+1) - (5/3)U(n) = 0
U(n+3) = (11/3)U(n+2) - (13/3)U(n+1) + (5/3)U(n)

Dat is de gevraagde recursievergelijking. Ze is van de derde orde, dus vereist 3 beginvoorwaarden, U(0), U(1) en U(2). Die haal je natuurlijk snel uit je expliciete voorschrift...

cl
donderdag 23 oktober 2003

©2001-2024 WisFaq