Pietje beweert dat 68% van de waarden van een binomiaal verdeelde stochast liggen tussen de verwachtingswaarde min de standaard afwijking en de verwachtingswaarde plus de standaard afwijking
A. ga dit na voor de stochast L die Bin (35; 0.5)-verdeeld is
'ik snap dat binomiaal verdeeld niet goed wat dat is. IS dat nou 35 keer een experiment met 2 uitkomsten met beiden een 1/2 kans? welke waarden bedoelen ze dan met die 68% er zijn dan toch maar 2 uitkomsten? '
B. doe dit ook voor Bin(35;0.45) en voor Bin(35;0,1)
'dit geloof ik wel. Als A mij duidelijk is kan ik deze B zelf wel. Maar ik dacht ik zet m er ff bij gewoon. :-P
sven
Leerling bovenbouw havo-vwo - zondag 19 oktober 2003
Antwoord
Een experiment wordt binomiaal genoemd als er slechts twee uitkomsten mogelijk zijn, meestal 'succes' resp. 'mislukking' genoemd. De succeskans wordt vaak aangeduid met de letter p en de mislukkingskans met de letter q.
Voorbeelden zijn:
het op de gok invullen van een vierkeuzevraag (kan alleen maar 'goed' of 'fout' zijn; p = 0,25 en q = 0,75))
het gooien van een dobbelsteen en een 6 willen gooien. (Je gooit wél een 6, of je gooit geen 6; p = 1/6 en q = 5/6)
Een kaart uit een spel trekken en voorspellen welke kaart het is (je raadt het wél of je raadt het niet; p = 1/52 en q = 51/52).
In jouw eerste vraag wordt een bepaald binomiaal experiment 35 keer herhaald en de kans op 'succes' is gelijk aan 0,5 (de kans op 'mislukking' dus ook!). Je zou bijvoorbeeld kunnen denken aan het 35 maal werpen van een zuivere munt, waarbij inderdaad maar 2 mogelijke uitkomsten zijn, namelijk 'kop' of 'munt')
Voor de binomiale kansverdeling zijn er kant-en-klare formules die het te verwachten aantal 'successen' en de standaardafwijking daarvan geven. De verwachtingswaarde is het simpelst: m = n.p Voor de standaardafwijking geldt: s = Ö(n.p.q)
In jouw experiment geldt dus: m = 35 . 0,5 = 17,5 en de standaardafwijking is s = Ö(35 . 0,5 . 0,5) en dat is ongeveer 2,96
De bewering in je opgave betekent nu het volgende. Als je het experiment 35 maal doet, dan scoor je daarbij een aantal 'successen'. Doe je het vervolgens weer 35 keer, dan zal je weer een aantal successen scoren, maar vermoedelijk is het een ander aantal dan de eerste keer. Ga hier in gedachten nou eens een tijdje mee door. De opgave beweert nu in feite dat de aantallen 'successen' die je behaalt voor zo'n 68% liggen tussen de grenzen u - s en m + s. Die grenzen zijn dus: 17,5 - 2,96 = 14,54 resp. 17,5 + 2,96 = 20,46 Daartussen zitten de waarden 15, 16, 17, 18, 19 en 20 (bedenk dat het aantal 'successen' altijd geheeltallig is!) Het snelst gaat het nu met je rekenmachine.
Met BinomCdf(35, 0.5 , 20) - BinomCdf(35, 0.5 , 14) telt je GR de kansen op 15 of 16 of ....of 20 successen bij elkaar. Ik vond als resultaat een ruime 68%.
