Ik had al eerder een vraag gestuurd maar schijnbaar was deze niet duidelijk genoeg. Ik bedoelde dus: Als ik weet dat de rente (samengestelde rente!!!) 15% per jaar is, hoe kan ik dan uitrekenen wat de rente in % per maand is. Ik weet zeker dat dit niet gewoon door 12 delen is.
BVD
wendy
Leerling bovenbouw havo-vwo - dinsdag 14 oktober 2003
We hebben een beginkapitaal K:0, een maandelijkse rente m en een jaarlijkse rente i. De vraag is wat het verband is tussen m en i. De rente na n maanden noteren we: Kn
Bijvoorbeeld: K0=1000€, i=0.05=5%, m=?
In het begin, na 0 maanden heb je je beginkapitaal K0. Na 1 maand heb je 1 maand rente verdiend: K1=K0+m.K0=K0.(1+m) Een maand verder heb je weer 1 maand rente verdiend: K2=K1+m.K1=K1.(1+m)=K0.(1+m)2 Nog een maand verder heb je weer 1 maand rente verdiend: K3=K2+m.K2=K2.(1+m)=K0.(1+m)3 Zo kan je verder rekenen en afleiden dat je na n maanden een bedrag Kn=K0.(1+m)n gespaard hebt.
In het bijzonder zal je na een jaar K12=K0.(1+m)12(1) gespaard hebben.
Op dezelfde manier kan je redeneren dat je na 1 jaar een rente van i.K0 verdiend hebt en dat je kapitaal dus i.K0+K0=K0.(1+i) (2) is.
We hebben dus 2 uitdrukkingen om het kapitaal na 1 jaar te berekenen. Eén keer (2) als het resultaat na 1 jaarlijkse rente-toevoeging en een andere keer (1) als het resultaat van 12 samengestelde maandelijkse intresten. Dus: K0.(1+i)=K0.(1+m)12, zodat: 1+i=(1+m)12 en dus: m=(1+i)1/12-1 (12-de machtswortel)
Voor kleine i kan je (1+i)1/12 goed benaderen door 1+i/12, zodat m=i/12 een goede benadering is voor m. Je kan andere benaderingen vinden mbv de MacLaurin-reeksontwikkeling voor (1+x)r, maar dit zou ons te ver leiden.
Voor ons voorbeeldje krijgen we exact m=0.00407=0.407% en benaderd m=0.00417=0.417%. Voor 15% zoals in je vraag zal het verschil groter zijn en zal de benadering dus inderdaad niet bruikbaar zijn. Je hebt gelijk: in het algemeen is de maandelijkse intrest niet gewoon 1/12 van de jaarlijkse.
