Beste mensen, Ik liep in mijn werk tegen de volgende vraag aan:
Hoe kan ik de inhoud bepalen van een geknotte tapstoelopend prisma, met een grondvlak van andere afmetingen dan het bovenvlak, dus als ik de lijnen door zou trekken krijg ik een soort piramide waarvan de lijnen niet snijden in hetzelfde punt (lastig onder woorden te brengen merk ik). Bijvoorbeeld, vlak een is 5x9 vlak twee is 2x3 met een hoogte H tussen de vlakken. Ik ken de formule voor een afgeknotte piramide wel, 1/3H(G+g+ÖGg) maar ik denk niet dat hij hiervoor ook geldt. Ik ben erg benieuwd wat jullie er van denken. Hartelijke groeten, Roland.
Roland
Student hbo - donderdag 9 oktober 2003
Antwoord
Dat soort lichaam is eerst en vooral geen prisma, waarin de twee evenwijdige vlakken congruent en de overige vlakken parallellogrammen moeten zijn (dat laatste om ze te onderscheiden van de antiprisma's en tussenliggende gevallen).
Ik ga er van uit dat in jouw situatie beide vlakken rechthoeken zijn, met evenwijdige zijden, alleen zijn de figuren niet gelijkvormig en dus loopt de denkbeeldige "piramide" niet toe op 1 punt, maar op 1 lijn.
Beeld je nu in dat we jouw lichaam in flinterdunne sneetjes snijden. Het enige wat nu van belang is, is hoe de oppervlakte van die sneedjes verandert in functie van de afstand tot het grondvlak.
Noem de afmetingen van het grondvlak a1 en b1, de afmetingen van het bovenvlak a2 en b2. De afmetingen van het sneetje op hoogte x van het grondvlak noemen we a(x) en b(x). Je ziet gemakkelijk in dat beide lineair van x afhangen, dus er geldt
a(x) = a1 + (x/h)(a2-a1) b(x) = b1 + (x/h)(b2-b1)
De oppervlakte van het sneetje op hoogte x is a(x).b(x) zodat het totale volume kan gevonden worden door integratie (="sommatie van flinterdunne sneetjes")
V = 0òha(x)b(x)dx
Na wat eenvoudig rekenwerk bekom je
V = (h/6)(2a1b1 + 2a2b2 + a1b2 + b1a2)
Merk op dat voor een echte afgeknotte piramide a1/a2 = b1/b2 en bovenstaande vergelijking zich herleidt tot de formule die je hier boven gaf. Desnoods kan je hier V nog schrijven als
V = (h/3)(G+g) + (h/6)(a1b2+a2b1)
of als
V = (h/6)(G+g+(a1+a2)(b1+b2))
Merk eveneens op dat het "schuin" zijn van het lichaam (je begrijpt wel wat ik bedoel, de horizontale verschuiving van het bovenvlak tov het grondvlak) niet uitmaakt, zoals ook de volumes van rechte en scheve kegels dezelfde zijn.
