\require{AMSmath}

Aantal codes als de volgorde niet van belang is

Is er ook een formule (P) die bepaald hoeveel mogelijkheden er zijn indien we codes van (b) cijfers uit een getalsysteem (a) hebben en de volgorde van de cijfers er niet toe zal doen?
Bijvoorbeeld: in het binair stelsel (a=2) en twee cijfers (b=2) zijn er normaal 2^2=4 mogelijkheden. Echter P=3 omdat 10 en 01 hetzelfde zijn.

Hoeveel verschillende pincodes zouden er dan zijn?

Wytze
Student hbo - maandag 6 oktober 2003

Antwoord

Beste Wytze,

Laten we een concreet voorbeeld nemen. Stel we werken in het zeventallig stelsel, en vragen ons af hoeveel verschillende codes van 4 cijfers er zijn, als de volgorde er niet toe doet. Dus 0456 en 5460 representeren dezelfde code.

Dit is natuurlijk hetzelfde als het aantal codes in het zeventallig stelsel met vier cijfers waarin de cijfers van klein naar groot staan.

Er bestaat een vernuftige manier om hiervan het aantal mogelijke codes te bepalen. Dat doen we door de code op een andere manier te benaderen. We gaan de code eigenlijk weer op een andere manier coderen. Dit werkt als volgt:

Je begin met het kleinst mogelijke cijfer "in je hand" - dat is 0. Er volgt een opeenvolging van twee mogelijke stappen:

P : het cijfer wordt geplaatst
V : het cijfer wordt met 1 verhoogd

Hiermee ga je door totdat:

• Je het hoogste cijfer "in je hand" hebt (in het voorbeeld dus 6),
• čn de code af is.

Voor het herschrijven van 0456 begin je met P (je plaatst 0), dan VVVV (je verhoogt naar 1,2,3,4) dan weer P, enz.
De herschreven code wordt: PVVVVPVPVP.

Zo kun je ook bepalen dat bij VVPPPVVPVV de oorspronkelijke code 2224 hoort.

Bij elke code van 4 cijfers van klein naar groot in het zeventallig stelsel hoort een rijtje van 4 P's (vier keer plaatsen) en 6 V's (zes keer verhogen van 0 t/m 6). En bij elk rijtje van 4 P's en 6 V's hoort een code van 4 cijfers in het zeventallig stelsel van klein naar groot.

Het aantal dat we in ons voorbeeld zoeken is dus gelijk aan het aantal codes van 4 P's en 6 V's. Kortom dat aantal is 10 nCr 4.

Aan jou laat ik over een algemeen geldige formule te geven.

FvL
donderdag 9 oktober 2003

©2001-2024 WisFaq