Ik raak er maar niet uit wat een cauchy-rij nu feitelijk is, en wat er zo speciaal aan is.
Nadia
Student universiteit België - donderdag 2 oktober 2003
Antwoord
Een Cauchy-rij is een rij waarvan je kan zeggen: ik kan er voor zorgen dat het verschil tussen 2 willekeurige termen in de rij willekeurig klein is, als je mij toelaat van een aantal termen in het begin niet in beschouwing te nemen.
Bijvoorbeeld de rij:
1,1/2,1/3,1/4,1/5,1/6,1/7,1/8,...
Kan je het verschil tussen twee willekeurige termen kleiner maken dan bijvoorbeeld 1/4? Ja, als je enkel de termen vanaf 1/4 bekijkt wel. Neem twee termen die na 1/4 komen en ze zullen zeker minder dan 1/4 van elkaar verschillen.
Hoe men "convergentie" van een rij definieert weet je waarschijnlijk wel. Wel, de lol is nu dat men kan bewijzen dat "convergentie van een rij" equivalent is met "het Cauchy zijn van een rij".
Het voordeel bij het gebruik van het Cauchy-criterium om de convergentie te bewijzen is dat je hier de waarde van de limiet niet op voorhand hoeft te kennen, wat wel het geval is als je de oorspronkelijke definitie van convergentie van een rij wenst te gebruiken.
