\require{AMSmath}

Reeksontwikkelingen, taylorreeks

Ik moet een wiskunde po maken over reeksontwikkelingen en over de taylorreeks. De vraag is of alle functies te schrijven zijn als een taylorreeks?

Bas
Leerling bovenbouw havo-vwo - dinsdag 30 september 2003

Antwoord

Ik neem aan dat je weet hoe je een Taylorrreeksontwikkeling kunt maken rond een bepaalde waarde van x. Als je alleen weet hoe je dat rond x=0 moet doen kijk dan even bij vraag 12228.

Je ziet dat je daartoe moet beschikken over de eerste, tweede, derde etc. afgeleide van de gegeven functie. In het punt waar je de taylorreeksontwikkeling wilt maken moeten die afgeleide functies dus wel bestaan.

Neem nu eens een functie als f(x)=|x|. Je wilt een taylorreeksontwikkeling maken rond x=0. De hellingsfunctie van f bestaat niet voor x=0, laat staan die hogere afgeleides. Dus geen taylorreeks ontwikkeling mogelijk. We zeggen de functie f waarvan je de Taylorreeksontwikkeling wilt maken moet in het punt waar je wilt werken oneindig vaak differentieerbaar zijn. Een soortgelijk probleem doet zich voor bij f(x)=³Öx. Alleen hierom al is het antwoord op je vraag dus nee!

Daarnaast wil je natuurlijk ook dat vanaf zekere waarde van n er een interval rond x ontstaat waarin de som van de termen die na deze waarde van n komen willekeurig klein wordt. Dat is ook niet altijd gegarandeerd (afhankelijk van hoe de hogere afgeleiden zich gedragen!)

hk
dinsdag 30 september 2003

©2001-2024 WisFaq