Hoe bereken ik sin 45° en cos 45°als gegeven is dat tan 45°=1?
Dirk L
Ouder - donderdag 25 september 2003
Antwoord
Beste Dirk,
Je weet dat de tangens gelijk is aan de sinus gedeeld door de cosinus? Dus tan(45°) = sin(45°)/cos(45°). En omdat je weet dat de tangens van 45° = 1 én verder weet je ook dat een breuk 1 is als de teller en de noemer aan elkaar gelijk zijn. Dus sin(45°) = cos(45°). Om nu te weten welke waarde de sinus (of cosinus, ze zijn toch aan elkaar gelijk) heeft voor 45° kun je gebruikmaken van de eenheidscirkel (ookwel goniometrische cirkel genoemd). De eenheidscirkel heeft straal 1, en de benen die de te tekenen hoek insluiten hebben als gemeenschappelijk punt de oorsprong. Één been ligt altijd op het positieve gedeelte van de x-as. Nadat je de hoek hebt getekend wordt de cirkel in een punt gesneden. Vanuit dit punt laat je een loodlijn op de horizontale en verticale as. De afstand vanaf de oorsprong tot het snijpunt bepaalt de waarde. De horizontale as geeft de waarde van de cosinus weer, en de verticale as de waarde van de sinus.
In ons geval dus Aan de tekening kun je trouwens al goed zien dat de sinus en cosinus van 45° dezelfde lengte hebben (de lengte van de gestippelde rode lijnen is gelijk). Je kunt de lengte opmeten, dan zul je 0,707... krijgen, maar da's niet exact. In dit geval is er een exacte waarde (er bestaan ook handige tabelletjes voor sinus/cos/tan voor standaardhoeken), namelijk 1/2√2. Maar waarom?
Je weet dat de straal van de cirkel 1 is, dus de schuine zijde is 1. Verder weet je dat de sinus en de cosinus aan elkaar gelijk zijn, dus de sinus = overstaande zijde/schuine zijde én cosinus = aanliggende zijde/schuine zijde, aangezien ze schuine zijde gemeenschappelijk hebben, moet de aanliggende zijde gelijk zijn aan de overstaande zijde. Noem de aanliggende en de overstaande zijde x, en de schuine zijde was 1. Dan geldt Pythagoras, namelijk 12 = x2 + x2, dus 2x2 = 1 en bijgevolg is x2 = ½ dus x is ½√2. Zie hieronder, eigenlijk ook nog -½√2, maar dat is niet van toepassing op een hoek van 45°.
Je had trouwens ook de grafiek van sinus en cosinus in één grafiek kunnen plotten en dan de snijpunten van beide functies te bepalen. Dit geldt dan voor y = 1/2√2 en y = -1/2√2.
