Bewijs, voor elke x waarvoor de vermelde goniometrische gatallen bestaan:
tg(45°+x)-tg(45°-x)= (4 sin x.cos x):(cos2x-sin2x)
Alvast bedankt
evelie
2de graad ASO - woensdag 17 september 2003
Antwoord
Dag Evelien,
In dat rechterlid zouden teller en noemer je bekend moeten voorkomen: de teller lijkt verdacht veel op sin(2x), en de noemer op cos(2x). Dat rechterlid is dus eigenlijk gewoon: 2sin(2x)/cos(2x) = 2tg(2x)
Je kan de somformule voor de tangens gebruiken om het linkerlid te herschrijven. tg(45+x) = tg45+tgx/1-(tg45.tgx) waarbij tg45 = 1, dus tg(45+x) wordt 1+tgx/1-tgx. Voor tg(45-x) gebruik je dezelfde formule, dat geeft als resultaat 1-tgx/1+tgx Het linkerlid wordt op die manier: 1+tgx/1-tgx - 1-tgx/1+tgx Schrijf op één noemer, er komt: (1+tgx)2-(1-tgx)2/(1+tgx)(1-tgx) = 4tgx/1-tg2x En dit herken je als 2tg(2x), en dat was dus ook het rechterlid, waarmee de gelijkheid bewezen is.
Mocht je nu die dubbelehoekformules niet herkend hebben, is er nog geen probleem: je hebt dan het linkerlid als een breuk a/b kunnen schrijven, en ook het rechterlid als c/d, je moet dan nog bewijzen dat ad=bc, en als je dat uitwerkt kan dat geen problemen opleveren, het is alleen wat properder op deze manier.
