\require{AMSmath}

Dit is een reactie op vraag 14042

Re: Rationaal getal

Heel erg bedankt voor je antwoord!!!

Nu heb ik al de hele midddag op deze vraag gezeten maar kom er weeeeer niet uit. Zou je me nog een keer kunnen helpen?

komt ie:

Onder de staartperiode van een rationaal getal verstaan we de lengte van het blokje decimalen dat in zijn decimale ontwikkeling steeds herhaald wordt. Bewijs dat voor alle
n element van N geldt:

1/n heeft een staartperiode 2
en n is deelbaar door 11.

Alvast bedankt

Liefs Angela

Angela
Leerling bovenbouw havo-vwo - zondag 7 september 2003

Antwoord

Hoi Angela,

Je hebt je vraag niet helemaal goed geformuleerd. Ik neem aan dat je bedoelt dat er bewezen moet worden:

ALS 1/n staartperiode 2 heeft en nÎ, DAN is n deelbaar door 11

Andersom geldt namelijk niet: 1/77 heeft staartperiode 6.

Een getal met staartperiode 2 (en 1, want 1/n1)ziet er als volgt uit:
0,abc....yzyzyzyzy.....
met a..z cijfers. abc... zijn de niet herhaalde decimalen, en yz de wel herhaalde decimalen, er geldt y¹z (als y=z, dan is de staartperiode 1). Lees yz dus als 1 getal met cijfers y en z, dus niet als y*z.

We kunnen dus schrijven:

1/n=0,abc....yzyzyzyzy.....

Stel het niet herhaalde gedeelte abc... bestaat uit k cijfers (kan natuurlijk ook 0 zijn, bijvoorbeeld 0,0909..), dan volgt hieruit:

10^k/n=abc....,yzyzyz....=abc...+0,yzyzyz
(kÎ of k=0)

en volgens de stelling uit mijn vorige antwoord is dit:

..=abc...+yz/99

Nu kunnen we n uitdrukken:

n=10^k/(abc...+(yz/99))

We weten dat nÎ, dus de teller moet een veelvoud zijn van de noemer:

10^k=m*(abc...+(yz/99))=m*abc...+((m*yz)/99)
(mÎ)

10^k is een geheel getal, m*abc... is een geheel getal, dus ((m*yz)/99) is ook een geheel getal. Dat betekent weer dat de teller een veelvoud is van de noemer:

m*yz=o*99=11*(9*o)
(oÎ)

Je ziet dat her rechterlid een veelvoud van 11 is. Dat moet het linkerlid dus ook zijn. Omdat 11 een priemgetal is betekent dit, dat:
-m is een veelvoud van 11
OF: -yz is een veelvoud van 11
OF: -m en yz zijn beide veelvouden van 11
Veelvouden van 11 100 hebben altijd 2 dezelfde cijfers (00,11,22,....,99), dus yz kan geen veelvoud van 11 zijn. Dan moet dus m een veelvoud van 11 zijn. Eerder hadden we de vergelijking:

10^k=m*(abc...+(yz/99))

Omdat m een veelvoud van 11 is kunnen we m=11*p schrijven (pÎ), dus:

10^k=11*p*(abc...+(yz/99))

We hadden eerder de vergelijking:

n=10^k/(abc...+(yz/99))

We kunnen nu 10^k vervangen door 11*p*(abc...+(yz/99)), dus:

n=(11*p*(abc...+(yz/99)))/(abc...+(yz/99))

Het gedeelte (abc...+(yz/99)) kunnen we wegstrepen:

n=11p

pÎ, dus het bewijs is voltooid!

Best ingewikkeld; veel letters moeten gebruiken. Misschien dat er een eenvoudiger bewijs is, maar zo kwam ik eruit. Krijgen jullie dit op de middelbare school??

groet,

Casper

cz
maandag 8 september 2003

©2001-2024 WisFaq