Boek waarbij een aantal opeenvolgende bladzijden missen
Uit een boek missen we een aantal opeenvolgende bladzijden. De som van de nummers ervan is 9808. Welke bladzijden ontbreken er?
vermei
Iets anders - woensdag 3 september 2003
Antwoord
Stel dat er n bladzijden ontbreken, meer bepaald de bladzijden met nummers a tot en met a+n-1. Hun som is een rekenkundige reeks met reekssom S = an + n(n-1)/2.
Manier 1
S = 9808 is een kwadratische vergelijking in n. De discriminant, 4a2-4a+78465, moet een volkomen kwadraat zijn, wil de oplossing voor n een natuurlijk getal kunnen zijn. Dat is geen garantie, maar zonder een discriminant die een volkomen kwadraat is, kan het al zeker niet.
We moeten nu 78464=(27)(613) splitsen in 2 factoren. Aangezien het aantal delers van dit getal gelijk is aan 16, kan dit op 16 verschillende manieren. Dat aantal kan je al meteen herleiden tot 8 aangezien de linkse factor duidelijk groter moet zijn dan de rechtse factor.
Twee van die ontbindingen leveren natuurlijke waarden voor a en D op, namelijk
i) 78464 = (1226)(64) zodat a=291 en D=645 ii) 78464 = (39232)(2) zodat a=9808 en D=19617
Geval i) leidt via de genoemde kwadratische vergelijking tot n=32 en n=-613. De verdwenen bladzijden zijn dan de nummers 291 tot en met 291+32-1=322, aangezien negatieve waarden voor n onzinnig zijn.
Geval ii) leidt via dezelfde vergelijking tot n=1 en n=-19616, wat overeenkomt met 1 verdwenen bladzijde met nummer 9808, de triviale oplossing dus.
Manier 2
S = 9808 is ook een lineaire vergelijking in a. Je bekomt dat
a = (-n+1)/2 + 9808/n
We onderscheiden nu twee gevallen
i) n is oneven. De eerste term is dus een geheel getal zodat de tweede term dat ook moet zijn. n moet dus deler zijn van 9808=(2^4)(613). Van de tien mogelijke delers geeft enkel n=1 aanleiding tot een natuurlijk getal voor a.
ii) n is even. De eerste term is dus (een geheel getal) + (1/2) zodat de tweede term dat ook moet zijn en dus de vorm heeft (een oneven getal)/2. Dat kan alleen als n=2^5=32, zodat de extra 2 in de noemer komt te staan.
PS: Eigenlijk zou n meteen even moeten worden verondersteld, als je er mag vanuit gaan dat de meeste bladen langs 2 zijden zijn bedrukt. Daarmee vervalt dan ook de triviale oplossing. Om dezelfde reden zou a oneven moeten zijn.
