\require{AMSmath}

Zwaartepuntsberekening

Ik ben op zoek naar het zwaartepunt van een cirkelsector van 60°. De gegeven afleiding is mij niet duidelijk.

Tom Ja
Student universiteit België - woensdag 20 augustus 2003

Antwoord

Neem de symmetrie-as van de sector als x-as met het hoekpunt van de sector als oorsprong. Het zwaartepunt wordt dan gegeven door de vector

m = òòrv dxdy / òòr dxdy

Veronderstel dat de dichtheid homogeen is over de sector, zodat de r uit bovenstaande uitdrukking verdwijnt. Schakel nu ook over op poolcoordinaten zodat dxdy=rdrdq.

m = òòv.rdrdq / òò rdrdq

De componenten van de vector v zijn [r cos q, r sin q] zodat de componenten van de vector m gelijk zijn aan

mx = òòrcos(q).rdrdq / òò rdrdq
my = òòrsin(q).rdrdq / òò rdrdq

De integratiegrenzen voor r zijn 0 en R, die voor q zijn -p/6 en +p/6. Werk de integralen uit en bekom

mx = 2R/p
my = 0 (zoals verwacht)

Bereken ook eens het geval van een algemene openingshoek en bereken de limiet wanneer die hoek nadert naar 0. Kan je dat resultaat verklaren?

cl
woensdag 20 augustus 2003

©2001-2024 WisFaq