\require{AMSmath}

Dit is een reactie op vraag 13479

Re: Het oplossen van een derdegraadsvergelijking

Hoi,
Wij moeten een derdegraads vergelijking oplossen met minimaal 1 complex antwoord. Misschien kunt u hier nog even naar kijken en ons uitleg geven. Bedankt.
Jolanda

Joland
Leerling bovenbouw havo-vwo - maandag 18 augustus 2003

Antwoord

Ik begrijp het... laten we eens een voorbeeld doen.

Los op: x³-9x²+31x-39=0
Als de grafiek tekent met je GR:



Het lijkt er op dat x=3 een oplossing is. Dus gaan we weer 'gezellig' een staartdeling maken:

x-3/x³-9x²+31x-39\x²-6x+13
    x³-3x²
    ------ -
      -6x²+31x-39
      -6x²+18x
      -------- -
           13x-39
           13x-39
           ------ -
                0

We zien:
x³-9x²+31x-39=(x-3)(x²-6x+13)

We proberen nu x²-6x+13 te ontbinden... (je kent misschien de som-produktmethode nog wel... twee getallen zoeken die vermenigvuldigd 13 zijn en opgeteld -6 zie Vergelijkingen oplossen m.b.v. ontbinden in factoren)

Dat lukt dus niet... dan maar de ABC-formule:
D=(-6)²-4·1·13=36-52=-16

'Normaal' (dat wil zeggen als je in $\mathbf{R}$ probeert deze vergelijking op te lossen) stop je dan met de opmerking: 'geen oplossingen'. Je bedoelt dan eigenlijk geen reële oplossingen.

Maar wij weten beter...
We vullen de ABC-formule gewoon verder in zoals we dat altijd al deden:



Kijk maar eens goed... we gebruiken i²=-1
√(-16)=√(4·-1)=√4 · √(-1)=2i
('populair gezegd': √(-1)=i)

En zo gaat dat dan zo'n beetje.

Er is nog een aardig aspect... wat ik toch even wil vermelden...

Je kunt nu schrijven:
x³-9x²+31x-39=(x-3)(x+2i-3)(x-2i-3)

Maar hoe kan het dat het vermenigvuldigen van twee complexe getallen aan de rechter kant geen complexe getallen oplevert aan de linker kant?

(x+2i-3)(x-2i-3)=x²-2ix-3x+2ix+4-6i-3x+6i+9

En zoals je ziet vallen alle termen met complexe getallen er in precies tegen elkaar weg!

x²-2ix-3x+2ix+4-6i-3x+6i+9=x²-3x+4-3x+9=x²-6x+13
(het klopt ook nog...)

Stel je nu eens voor dat je een derdegraadsvergelijking hebt (met reele coefficienten) waarbij je 2 reele oplossingen en 1 complexe oplossing krijgt. Zou dat kunnen kloppen denk je? Waarom niet?

WvR
maandag 18 augustus 2003

©2001-2024 WisFaq