er bestaat een test om na te gaan of voor een gegeven groep (V,o) de structuur (W,o) waarbij ƹWÌV ook een groep vormt:
1. algemene test: (W eindig of oneindig)
(W,o) is groep Ü ("a,b Î W: a o b Î W)Ù (" a Î W: a^(-1) Î W)
2. test bij eindige W:
(W,o) is groep Ü (("a,b Î W: a o b Î W)
Gevraagd was 2. te bewijzen en aan te tonen waar gebruik werd gemaakt van het eindige karakter van W bij de test voor eindige W.
Bewijs:
® (W,o) is groep ® associativiteit bestaat, (W,o) heeft een invers en neutraal element
Stel Eo het neutraal element "a Î W bestaat het invers element a o a^(-1) = Eo en Eo Î W a o Eo = a en a Î W ® " a,b Î W: a o b Î W
ik weet nie hoe ik de associativiteit moet aantonen en ook de omgekeerde richting van het bewijs wil niet lukken... (en waar wordt het belangrijk dat W eindig is?)
Kelly
Student universiteit België - vrijdag 15 augustus 2003
Antwoord
Hoi Kelly,
Vrij vertaalt gaat het erom wanneer W een ondergroep is van V.
Þ W is een groep. Uit de definitie volgt direct dat er dan een neutraal element is , dat de bewerking associatief is, en dat ieder element een inverse heeft. Dus deze kant op zijn we eigenlijk al klaar, alles volgt uit de definitie. Ü De bewerking is associatief op V, en dus ook op W! Verder merken we op dat a o a(-1) Î W, dus ook e (neutraal elt) Î W. a(-1) = e o a(-1) Î W voor alle a Î W, dus dan ook a o b = a o (b (-1))(-1) Î W voor alle a,b Î W. Oftewel, elk element heeft een inverse in W.
De (on)eindigheid vind ik ook lastig, want ik heb dit verschil niet zo expliciet gehad. Ik denk dat je het moet zoeken in de hoek van de voortbrengers.
