\require{AMSmath}

Goniometrische betrekking en een driehoek

sin3a.cos(b-c)+sin3b.cos(c-a)+sin3c.cos(a-b)=0
Heb dit reeds omgezet naar;
sin3a.cos a+sin3b.cos b+(-sin 3(a+b)).(-cos(a+b))
Moet ik nu bvb. sin 3a opsplitsen in sin(2a+a) of gewoon de formule voor sin 3a uitwerken of nog iets anders.
Hoe begin je aan zo'n oefening? Moet je altijd zoiezo eerst alles naar a en b omzetten of is dat niet altijd nodig.
In de twee oefeningen die ik in de cursus heb wordt c altijd in de vorm van a of b gezet.

Bea Ve
Student Hoger Onderwijs België - woensdag 13 augustus 2003

Antwoord

Hoi,

Het lijkt me een goed begin om altijd eerst c te schrijven als een uitdrukking in a en b. In vermoed dat het hier om hoeken van een driehoek gaat, zodat a+b+c=$\pi$ en dus c=$\pi$-a-b.

Je hebt dan:
(1) =
sin(3a).cos(b-c)+sin(3b).cos(c-a)+sin(3c).cos(a-b)=
sin(3a).cos(b-($\pi$-a-b))+sin(3b).cos(($\pi$-a-b)-a)+sin(3($\pi$-a-b)).cos(a-b)=
sin(3a).cos(2b+a-$\pi$)+sin(3b).cos($\pi$-2a-b)+sin(3$\pi$-3a-3b)).cos(a-b)=
sin(3a).cos($\pi$-2b-a)+sin(3b).cos($\pi$-2a-b)+sin($\pi$-3a-3b)).cos(a-b)=
-sin(3a).cos(2b+a)-sin(3b).cos(2a+b)+sin(3a+3b).cos(a-b)=
sin(3a+3b).cos(a-b)-sin(3a).cos(2b+a)-sin(3b).cos(2a+b) (2)

We moeten nu bewijzen dat (2)=0 voor alle mogelijke waarden van a en b.

Neem nu x=2a+b en y=2b+a.
We hebben dan : x+y=3a+3b, x-y=a-b, 2x-y=3a, 2y-x=3b.
We schrijven verkort: sx=sin(x), cx=cos(x), sy=sin(y) en cy=cos(y)

Zodat :
(2) =
sin(x+y).cos(x-y)-sin(2x-y).cos(y)-sin(2y-x).cos(x)=
sin(x+y).cos(x-y)-[sin(2x).cy-cos(2x).sy].cy-[sin(2y).cx-cos(2y).sx].cx=
sin(x+y).cos(x-y)-sin(2x).cy²+cos(2x).sy.cy-sin(2y).cx²+cos(2y).sx.cx=
sin(x+y).cos(x-y)-sin(2x).cy² -sin(2y).cx²+1/2[cos(2x).sin(2y)+cos(2y).sin(2x)]=
sin(x+y).cos(x-y)-sin(2x).cy² -sin(2y).cx²+1/2sin(2x+2y) =
sin(x+y).cos(x-y)-sin(2x).cy² -sin(2y).cx²+sin(x+y).cos(x+y) =
sin(x+y).[cos(x-y)+cos(x+y)]-sin(2x).cy² -sin(2y).cx² =
sin(x+y).[cx.cy+sx.sy+cx.cy-sx.sy]-sin(2x).cy² -sin(2y).cx² =
2.sin(x+y).cx.cy-sin(2x).cy² -sin(2y).cx² =
cx.[sin(x+y).cy-sin(2y).cx]+ cy.[sin(x+y).cx-sin(2x).cy] (4)

We kijken nu verder de factor :
sin(x+y).cy-sin(2y).cx = [sx.cy+cx.sy].cy-2.sy.cy.cx = [sx.cy-cx.sy].cy = sin(x-y).cy.
En ook : sin(x+y).cx-sin(2x).cy = sin(y-x).cx = - sin(x-y).cx,

Zodat :
(4) = 0 (QED)

Groetjes,
Andros


PS: een paar tips:
- probeer heel lange notaties te vereenvoudigen door afkortingen in te voeren (sx, sy, ...)
- zorg ervoor dat er in elke vorm een symmetrie in x en y te herkennen is

andros
woensdag 13 augustus 2003

©2001-2024 WisFaq